微积分2学生关于反常积分定义与无穷极限行为的技术咨询

我是一名正在学习微积分2的学生，先提前说明——这真不是找你帮做作业的请求😉！最近研究反常积分的时候，我发现了一些让我对无穷极限的行为特别好奇的现象，希望能有懂行的人帮我捋捋我观察到的内容。

我们求解形如 $$ \int_a^\infty [f(x)] dx $$ 的反常积分时，常规方法是取一个数值$M$，通过计算极限来求解，也就是：
$$ \lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^M [f(x)] dx $$

不过当我回顾反常积分的相关定义时，我对这个极限的行为产生了一些困惑……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者npengra317