大量个体抛硬币至出现单次反面即停止，求N极大时正反次数比

嘿，这个问题乍一看有点绕，但拆解开来其实很清晰！我们可以从两个角度来分析：

角度1：从个体实验的期望入手 #

首先，每个人的实验最终都会以恰好1次反面结束——毕竟规则就是抛到第一次反面就停止。那现在我们只需要算出每个人平均会抛出多少次正面，就能得到整体的比例。

设X为单个实验中抛出的正面次数，它的可能取值是0、1、2、3...（对应序列T、HT、HHT、HHHT...）：

• 抛出0次正面的概率：第一次就抛到反面，概率是1/2
• 抛出1次正面的概率：先抛正面再抛反面，概率是(1/2)^2 = 1/4
• 抛出k次正面的概率：连续k次正面后接1次反面，概率是(1/2)^(k+1)

接下来计算X的期望E[X]：

E[X] = 0*(1/2) + 1*(1/4) + 2*(1/8) + 3*(1/16) + ...

这是一个经典的等差乘等比级数，用错位相减法就能算出结果：
令S = 0 + 1*(1/4) + 2*(1/8) + 3*(1/16) + ...
则(1/2)S = 0 + 1*(1/8) + 2*(1/16) + 3*(1/32) + ...
两式相减：S - (1/2)S = 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
右边是首项为1/4、公比为1/2的等比数列，求和结果为(1/4)/(1-1/2) = 1/2
所以S = 1，也就是每个人平均会抛出1次正面。

既然每个人平均有1次正面、1次反面，当总实验次数N极大时，整体的正面次数和反面次数比例自然是1:1。

角度2：从大数定律直接推导 #

还有一个更直观的思路：不管实验规则怎么设定，每次抛硬币都是独立事件，正面和反面的概率始终是1/2。根据大数定律，当实验总次数趋近于无穷大时，正面出现的频率会趋近于它的概率1/2，反面同理。所以正面和反面的次数比例最终会趋近于1:1。

两个角度得到的结论完全一致，是不是很有意思？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者No Name QA