为何集合{x:x=E或x={E}或x={E,{E,{E}}}}违反正则公理？

首先回顾背景：我们定义类 $$E={(a,b):a\in b}$$，Kelley 用反证法证明 E 不是集合——先假设 E 是集合，根据配对公理，${E}$ 也会是合法集合。

因为 $E\in{E}$，刚好符合 E 的定义（所有满足 $a\in b$ 的有序对 $(a,b)$），所以有序对 $(E,{E})$ 必然属于 E，也就是 $(E,{E})\in E$。

接下来看这条关键的属于关系链：

• $E\in{E}$：这是单元素集合的基本性质，${E}$ 的唯一元素就是 E；
• ${E}\in(E,{E})$：这里用的是有序对的集合论定义，$(E,{E})$ 被构造为 ${E, {E,{E,{E}}}}$，显然 ${E}$ 是这个集合的元素之一；
• $(E,{E})\in E$：这是从 E 的定义直接推导的结果，因为 $E\in{E}$ 满足 $a\in b$ 的条件，对应的有序对自然在 E 中。

把这串关系连起来就是：
$$E\in {E}\in(E,{E})\in E$$

现在看构造出的集合：
$$S={x:x=E \mbox{ 或 } x={E} \mbox{ 或 } x={E,{E,{E}}}}$$
简单说就是 $S={E, {E}, (E,{E})}$，第三个元素就是有序对 $(E,{E})$。

正则公理（基础公理）的核心要求是：任何非空集合都必须存在一个「极小元」——即集合里的某个元素 $x$，满足 $x\cap S=\emptyset$。我们逐一检查 S 里的元素：

• 检查 E：E 包含 $(E,{E})$，而 $(E,{E})$ 是 S 的元素，所以 $E\cap S$ 至少包含 $(E,{E})$，不是空集；
• 检查 ${E}$：这个集合的唯一元素是 E，E 属于 S，所以 ${E}\cap S={E}\neq\emptyset$；
• 检查 $(E,{E})$：这个集合包含 ${E}$，${E}$ 是 S 的元素，所以它和 S 的交集至少包含 ${E}$，也不是空集。

可以看到，S 里的每一个元素都和 S 本身有非空交集，完全找不到符合正则公理要求的极小元，这就直接违反了正则公理。

既然正则公理是 ZFC 集合论的基本公理，我们不能违背它，所以最初的假设「E 是集合」必然不成立，由此证明 E 不是集合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69