求级数∑(1/(k·2ᵏ))当n→∞时的极限问题求助

嘿，我来帮你把这个推导补全，一步步把积分和求和的关系捋清楚，最终得到极限结果～

第一步：建立积分$I_n$与目标求和的关联 #

首先，我们先把你定义的积分$I_n = \int_0^\frac12 \frac{x^n}{1-x} dx$和要求的部分和$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot 2^k}$联系起来：

在区间$[0, \frac{1}{2}]$上，$\frac{1}{1-x}$可以展开成一致收敛的幂级数：$\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k$，因此我们可以逐项积分：
$$
I_n = \int_0^\frac12 x^n \cdot \sum_{k=0}^\infty x^k dx = \sum_{k=0}^\infty \int_0^\frac12 x^{n+k} dx
$$
计算每个积分项：$\int_0^\frac12 x^{n+k} dx = \frac{(1/2)^{n+k+1}}{n+k+1}$，代入后换元（令$m = n+k+1$），可得：
$$
I_n = \sum_{m=n+1}^\infty \frac{1}{m\cdot 2^m}
$$

而我们知道，无穷级数$\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m\cdot 2^{m}$是经典的对数级数展开：当$|x|<1$时，$\sum_{k=1}}\infty \frac{x^k}{k} = -\log(1-x)$，代入$x=\frac{1}{2}$，就有$\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m\cdot 2^m} = -\log(1-\frac{1}{2}) = \log2$。

所以目标部分和可以表示为：
$$
\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot 2^k} = \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k\cdot 2^k} - I_n = \log2 - I_n
$$

第二步：分析$I_n$的极限（结合你的分部积分结果） #

你通过分部积分得到了$I_n = \log2 - \frac{1}{2^n} + n\int_0^\frac12 x^{n-1} \log(x-1) dx$，我们现在看当$n\to\infty$时，右边各项的趋势：

• 首先，$\frac{1}{2^n}$当$n\to\infty$时显然趋于0；
• 然后看积分项$n\int_0^\frac12 x^{n-1} \log(x-1) dx$：在$[0, \frac{1}{2}]$上，$|\log(x-1)| = |\log(1-x)| \leq \log2$（因为$1-x\in[\frac{1}{2},1]$，$\log(1-x)$的绝对值最大值为$\log2$），因此这个积分的绝对值满足：
  $$
  \left|n\int_0^\frac12 x^{n-1} \log(x-1) dx\right| \leq n\cdot\log2 \cdot \int_0^\frac12 x^{n-1} dx
  $$
  计算积分$\int_0^\frac12 x^{n-1} dx = \frac{(1/2)^n}{n}$，代入后得到：
  $$
  \left|n\int_0^\frac12 x^{n-1} \log(x-1) dx\right| \leq \log2 \cdot \frac{1}{2^n}
  $$
  当$n\to\infty$时，$\frac{1}{2^n}\to0$，所以这个积分项也趋于0。

另外从第一步的关联我们知道，$I_n$是收敛级数的余项，当$n\to\infty$时，余项必然趋于0，因此：
$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot 2^k} = \log2 - \lim_{n\to\infty}I_n = \log2 - 0 = \log2
$$

最终结论 #

这个极限的结果就是$\log2$（即自然对数$\ln2$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Victor