在H₀约束下寻找θ₀=E(X₁)²+E(Y₁)²的检验统计量与临界值

我们有两组独立同分布序列 $X_1,X_2,\cdots$ 和 $Y_1,Y_2,\cdots$，且任意的 $X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立。当前的核心任务是找到合适的检验统计量 $\tau$ 和临界值 $c$，使得在原假设 $H_0:E(X_1)=E(Y_1)=0$ 成立时，拒绝概率 $P(\tau > c)$ 收敛至0.05。

目前我们已经得到了一个一致估计量：
$$\hat{\theta}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nX_i2+\sum_{i=1}^nY_i2\right)$$

针对后续分析，这里提供几个可行的推进方向：

• 基于已有的一致估计量 $\hat{\theta}$ 构造检验统计量：可以结合两组样本的均值（原假设下均值期望为0，但样本均值的波动可与 $\hat{\theta}$ 结合），构造标准化形式的统计量，例如 $\tau = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\hat{\theta}/n}}$，这类形式的统计量通常能利用大样本理论分析渐近行为。
• 推导统计量的渐近分布：借助中心极限定理或大样本渐近理论，分析 $\tau$ 在原假设 $H_0$ 下的极限分布。比如如果渐近服从标准正态分布，那么满足 $P(\tau > c) \to 0.05$ 的临界值 $c$ 就是1.645（单侧检验的分位数）。
• 验证检验的渐近性质：确认构造的统计量在 $H_0$ 下的拒绝概率确实收敛到目标显著性水平0.05，同时评估其在备择假设下的检验功效，确保检验的合理性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wizz