求证满足∥x∥²≤∥x∗x∥的对合Banach代数是Banach ∗-代数及证明正确性

咱们先把问题和给出的证明理清楚：

问题背景与命题 #

已知A是带有对合映射$x \to x^{∗$的Banach代数，且满足$|x|}2 \leq |x^∗x|$，需要证明A是Banach ∗-代数（核心就是要证$|x^*| = |x|$）。

给出的证明过程 #

由$|x|^2 \leq |x^∗x| \leq |x^∗| |x|$可得$|x| \leq |x^{∗|$，将x与$x}$互换可得$|x^| \leq |x|$，故$|x^*| = |x|$。

证明正确性分析 #

这个证明完全正确，每一步的逻辑都很扎实：

• 首先用到了Banach代数的核心性质——范数的次乘性：对任意$a,b \in A$，都有$|ab| \leq |a| |b|$，所以$|x^x| \leq |x^| |x|$是成立的；
• 结合题设的$|x|^2 \leq |x^{*x|$，通过不等式传递得到$|x|}2 \leq |x^| |x|$。这里分两种情况看：如果$|x| \neq 0$，直接两边除以$|x|$就能得到$|x| \leq |x^{*|$；如果$|x|=0$，那$x$是零元，显然$|x}|=0=|x|$，这个特殊情况也覆盖到了；
• 然后利用对合映射的基本性质：$(x^*)* = x$，把$x$换成$x^{*$代入之前得到的结论，就有$|x}| \leq |(x^*)| = |x|$；
• 最后双向不等式夹逼，自然就能得出$|x^*| = |x|$，完全满足Banach ∗-代数对范数的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User8976