数论求证：若$b^2\mid a^2$，证明$b\mid a^2$

咱们从奇偶性的角度切入这个证明，先明确一个关键事实：如果$a$是奇数，那么$a^2$必然也是奇数。具体推导一下：假设存在整数$k$，使得$a=2k+1$，那么展开平方可得：
$$a^2=(2k+1)2=4k^2+4k+1$$
这个式子显然是奇数——前两项都是4的倍数（偶数），加1之后自然是奇数。

再看核心条件$b^2\mid a^{2$：如果$b}2$能整除$a^2$，那$b2$的奇偶性必须和$a^2$一致，毕竟奇数的因数只能是奇数，偶数的因数只能是偶数。由此可以推出：$a$和$b$的奇偶性相同。

接下来分两种情况讨论：

（i）$a$、$b$均为奇数 #

设存在整数$k$、$m$，分别使得$a=2k+1$，$b=2m+1$。将两者分别平方后得到：

• $a^2=4k2+4k+1$
• $b^2=4m2+4m+1$

根据条件$b^2\mid a^{2$，也就是$(4m}2 + 4m+1)\mid (4k^2 + 4k+1)$，不过到这一步之后，直接用代数变形的方法好像没法继续推进证明了，暂时卡在这里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender