含k(t)的微分方程类型判定与求解方法咨询

嘿，这个带额外项的微分方程其实是一阶线性非齐次常微分方程，咱们一步步拆解它的判定和解法：

首先把原方程整理成一阶线性微分方程的标准形式：
$$\frac{dA(t)}{dt} + P(t) A(t) = Q(t)$$
对比你的方程 $\frac{dA(t)}{dt}=aA(t)\cdot k^{2}(t)+b\cdot k(t)$，把含$A(t)$的项移到左边后得到：
$$\frac{dA(t)}{dt} - a k^2(t) A(t) = b k(t)$$
这里$P(t) = -a k^2(t)$，$Q(t) = b k(t)$，完全符合一阶线性非齐次方程的结构——这就是它的类型啦，因为多了非齐次项$b k(t)$，所以没法直接用分离变量法，得用积分因子法来解。

这是解这类方程的标准方法，步骤很清晰：

• 第一步：计算积分因子$\mu(t)$，公式是：
  $$\mu(t) = \exp\left( \int P(t) dt \right) = \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right)$$
  注：$\exp(x)$就是$e^x$的另一种写法，只是排版起来更方便。
• 第二步：把原方程两边同时乘以这个积分因子，左边会刚好变成一个乘积的导数（这也是积分因子的核心作用）：
  $$\frac{d}{dt} \left( A(t) \cdot \mu(t) \right) = \mu(t) \cdot Q(t)$$
  代入具体的$\mu(t)$和$Q(t)$后，就是：
  $$\frac{d}{dt} \left( A(t) \cdot \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right) \right) = b k(t) \cdot \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right)$$
• 第三步：两边同时对$t$积分，左边积分后就只剩下$A(t) \cdot \mu(t)$，右边是一个积分表达式：
  $$A(t) \cdot \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right) = b \int k(t) \cdot \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right) dt + C$$
  这里的$C$是积分常数，如果有初始条件（比如$A(t_0)=A_0$），就可以代入求出具体的$C$。
• 第四步：两边同时除以积分因子，就能得到$A(t)$的通解：
  $$A(t) = \exp\left( a \int k^2(t) dt \right) \left( b \int k(t) \cdot \exp\left( -a \int k^2(t) dt \right) dt + C \right)$$

你提到去掉最后一项就能用分离变量法，咱们来验证一下：当$b=0$时，方程变成$\frac{dA}{dt} = a k^2(t) A$，代入通解公式后，右边的积分项变成0，得到：
$$A(t) = C \exp\left( a \int k^2(t) dt \right)$$
这和分离变量法得到的结果完全一致，说明这个解法是靠谱的~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karol Borkowski