关于ℕ²与ℕ间双射n=2^{u-1}(2v-1)的满射性问询

嘿，我来帮你解开这个疑惑！你已经搞懂了这个公式的单射性，那咱们就聚焦满射的部分——其实你的误解点在于觉得它只生成偶数，但实际上它能覆盖所有自然数，这背后靠的是自然数的一个基本性质：每个正整数都可以唯一分解成2的幂次乘以一个奇数（这是算术基本定理的推论）。

咱们一步步拆解：

• 任取一个自然数n ∈ ℕ，根据上述性质，我们总能把它写成 n = 2^k * m 的形式，其中k是一个非负整数（k ≥ 0），m是一个奇数。
• 现在对应到你的公式n=2^{u-1}(2v-1)：
  • 令u = k + 1（因为k ≥ 0，所以u ≥ 1，符合ℕ的定义）；
  • 因为m是奇数，所以m = 2v - 1一定有整数解v = (m + 1)/2，而且v肯定是正整数（奇数加1是偶数，除以2自然是正整数）。

举几个实际例子验证一下：

• 当n=1（奇数）：分解为2^0 * 1，所以k=0，u=1；m=1，v=(1+1)/2=1。代入公式得2^{0}*(2*1-1)=1*1=1，完美对应。
• 当n=3（奇数）：分解为2^0 *3，u=1，v=(3+1)/2=2，公式结果是1*(2*2-1)=3，正确。
• 当n=2（偶数）：分解为2^1 *1，k=1，u=2；v=1，公式结果是2^1*(2*1-1)=2*1=2，正确。
• 当n=6（偶数）：分解为2^1 *3，k=1，u=2；v=(3+1)/2=2，公式结果是2^1*(2*2-1)=2*3=6，正确。

你看，不管n是奇数还是偶数，都能找到对应的u和v属于ℕ，这就证明了这个公式是满射的——每个自然数都能被这个公式生成出来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Galush Balush