求所有满足$A^2=A$的n阶矩阵A：求解方法问询

这其实是线性代数里经典的**幂等矩阵（idempotent matrix）**问题，我来一步步拆解怎么找出所有满足条件的n阶矩阵：

一、先看可逆的情况 #

你提到可逆的这类矩阵只有有限个——没错，其实可逆的幂等矩阵只有单位矩阵$I_n$这一个。
推导很直接：如果A可逆，那么我们可以在等式$A^2 = A$两边左乘$A^{{-1}$，得到$A}{-1}A^2 = A^{-1}A$，也就是$A = I_n$。所以所有可逆解就是单位矩阵，没有其他可能。

二、非可逆的无穷多解：用相似变换构造所有幂等矩阵 #

所有幂等矩阵都可以通过相似变换来构造，核心思路是：幂等矩阵一定相似于对角元仅为0或1的对角矩阵。具体步骤如下：

• 第一步：任选一个n阶可逆矩阵$P$（只要可逆就行，有无穷多种选择）；
• 第二步：构造对角矩阵$D$，其对角线上有$k$个1和$(n-k)$个0，其中$k$可以取0,1,2,...,n-1（k=n时就是单位矩阵，对应可逆情况）；
• 第三步：计算矩阵$A = PDP^{{-1}$，这个A就满足$A}2 = A$。

验证一下为什么这样构造可行： #

因为对角矩阵$D$满足$D^2 = D$（0和1的平方都是自身），所以：

A² = (PDP⁻¹)(PDP⁻¹) = PD(P⁻¹P)DP⁻¹ = PDIDP⁻¹ = PDP⁻¹ = A

完全符合条件。而且反过来，所有满足$A^2 = A$的矩阵都可以写成这种形式——因为幂等矩阵可对角化，其特征值只能是0或1，所以必然相似于这样的对角矩阵D。

三、从线性变换的角度理解 #

幂等矩阵对应的线性变换其实是投影变换：它把整个n维空间中的向量，投影到A的列空间中，而A的核空间（零空间）就是列空间的补空间，两者的直和刚好是整个n维空间。这也对应了对角矩阵D中1的个数就是列空间的维度，0的个数是核空间的维度。

举个简单的例子（n=2）：
取可逆矩阵$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，对角矩阵$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算得到：
$A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$
验证一下：$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$，完全符合条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John