带约束条件的线性目标函数最大值求解咨询

Hey there, let's break down this maximization problem clearly—this is a classic linear programming scenario where the optimal solution follows a simple, intuitive rule.

问题回顾 #

已知约束条件：$x\ge983614$，$y\ge268877$，$z\ge514175$，且$x+y+z\le3500000$。请求解变量$x,y,z$的取值，使得目标函数$\max f(x,y,z) = 117x+125y+97z$取得最大值。

核心思路 #

For this type of problem (maximizing a linear function with variable lower bounds and a total sum cap), the optimal strategy is prioritizing the variable with the highest coefficient in the target function. Why? Because each unit of that variable contributes the most to increasing our target value—we want to allocate as much of our remaining "budget" (the leftover amount after meeting all minimums) to this variable first.

分步计算 #

1. 计算最小必要总和
   首先，我们先把$x,y,z$的最小值加起来，看看总上限里已经被占用的部分：

   983614 + 268877 + 514175 = 1766666
   

   剩余可自由分配的总量为：

   3500000 - 1766666 = 1733334
   

2. 优先分配给系数最高的变量
   看目标函数的系数：

   • $y$的系数125是最大的，其次是$x$的117，最小的是$z$的97。
     所以我们会把所有剩余的1733334全部分配给$y$——这能给目标函数带来最大幅度的提升。

3. 变量最终取值

   • $y = 268877 + 1733334 = 2002211$
   • $x$保持最小值：983614
   • $z$保持最小值：514175

4. 验证约束条件
   我们检查一下总和是否符合上限要求：

   983614 + 2002211 + 514175 = 3500000
   

   完美——刚好达到总上限，且所有变量都满足各自的下界要求。

5. 计算目标函数最大值
   将取值代入$f(x,y,z)$：

   117*983614 + 125*2002211 + 97*514175 = 415234188
   

为什么这是最优解？ #

如果我们把哪怕1单位的量从$y$转移到$x$，目标函数值会减少$125 - 117 = 8$；转移到$z$则会减少$125 - 97 = 28$。任何剩余预算的重新分配都会降低总数值，所以这个解就是能得到的最大值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者L.Mashabile