所有顶点度数为4且含10个面的平面图的同构类数量探究

首先得给你点个赞，你的计算完全正确！用握手定理结合欧拉公式推导出顶点数是8的过程没问题：

握手定理：4正则图总度数为$4V=2E$，即$E=2V$；代入欧拉公式$V-E+F=2$，得$V-2V+10=2$，解得$V=8$。

你的猜测也完全正确——这类图只有1个同构类，下面给你拆解证明思路，顺便聊聊你尝试的欧拉回路方法怎么调整：

第一步：明确图的面结构 #

所有面的度数之和等于$2E=32$（每条边属于两个面），而我们有10个面，平均面度数是3.2。因为面的度数必须是整数，所以唯一的组合是8个三角形面（度数3）+2个四边形面（度数4）——算一下：$8×3 + 2×4=32$，刚好匹配总面度数。

第二步：证明同构唯一性 #

从两个四边形面的结构入手：

1. 这两个四边形面一定是顶点不相交的：8个顶点刚好被两个四边形各分走4个（$2×4=8$），如果有重叠顶点，总关联顶点数会小于8，无法满足每个顶点被4个面围绕（4正则图的每个顶点对应4个相邻面）的要求。
2. 两个四边形之间的连接方式是唯一的：每个四边形的顶点在内部已有2条边（构成4环），剩下2条边必须连接到另一个四边形的顶点。要保证图是平面图且形成8个三角形面，每个顶点只能交替连接到另一个四边形的两个顶点——这种连接方式是固定的，不存在其他可能。

另外查图论的已知分类也能佐证：8顶点的4正则图总共只有6个，但其中只有这一个是平面图（满足10个面的欧拉公式条件），其余都是非平面图，所以同构类只能是1个。

关于你尝试的欧拉回路方法 #

你的思路方向是对的，只是可以调整一下细节：
4正则图是欧拉图，取一条欧拉回路后，每个顶点会恰好出现2次（度数4，每次进入+离开算一次经过，共2次）。你可以观察回路中对应面边界的子序列：两个四边形面对应长度为4的子序列，其余8个是长度为3的三角形子序列。通过匹配这些子序列的相邻关系，就能构造出两个图之间的顶点同构映射——本质是通过面的结构反向推导顶点的邻接关系，进而证明同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Addem