关于随机变量n阶矩定义及尾和公式应用的技术问询

刚好看到你提出的这两个关于n阶矩的问题，我来逐一给你拆解清楚：

疑问1：为什么n阶矩定义是$\mathbb{E}[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f_X(x) , dx$，而非采用$f_X(x^n)$的形式？ #

首先得回到期望的本质：$E[X^{n]$其实是随机变量函数$g(X)=X}n$的期望，而随机变量函数的期望公式是有统一规则的——对于连续型随机变量$X$，任意可测函数$g(X)$的期望都满足：
$$\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x) , dx$$
这里$g(x)=x^n$，代入后自然就得到了n阶矩的定义。

那为什么不能用$f_X(x^{n)$呢？这里的核心误区是：$f_X(\cdot)$是**原随机变量X的概率密度函数**，它描述的是X取某个值x的概率密度，和$X}n$的概率密度完全不是一回事。如果要直接用$X^{n$的密度来计算期望，应该先求$Y=X}n$的密度$f_Y(y)$，然后计算$\mathbb{E}[Y] = \int_{-\infty}^\infty y f_Y(y) , dy$，这和原定义是等价的，但绝非直接把$f_X(x)$里的x换成$x^n$。

举个简单例子验证：假设X服从[0,1]上的均匀分布，$f_X(x)=1$（当0≤x≤1时）。按正确定义计算$E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 1 dx = 1/3$；如果错误地用$f_X(x^{2)$来计算，$f_X(x}2)$在$x^{2∈[0,1]$即x∈[-1,1]时都是1，积分出来会是$\int_{-1}}1 1 dx=2$，这显然和真实期望差了十万八千里，足以说明这种形式的错误性。

疑问2：能否利用一阶矩的尾和公式计算n阶矩？ #

当然可以！不过需要先把一阶矩的尾和公式做推广，而且要分情况讨论：

情况1：X是非负随机变量（即$X≥0$几乎处处成立） #

一阶矩的尾和公式是$\mathbb{E}[X] = \int_{0}^\infty 1 - F_X(x) , dx$，对于n阶矩，我们可以通过分部积分推导类似的公式：
已知$\mathbb{E}[X^n] = \int_{0}^\infty x^n f_X(x) dx$，令$u=x^n$，$dv=f_X(x)dx$，则$du=n x^{{n-1}dx$，$v=1-F_X(x)$（因为$\int_x}\infty f_X(t)dt = 1-F_X(x)$）。

分部积分后得到：
$$\mathbb{E}[X^n] = \left. x^n(1-F_X(x)) \right|0^\infty + n \int{0}^\infty x^{n-1}(1-F_X(x)) dx$$
当X的n阶矩存在时，$\lim_{x→∞} x^n(1-F_X(x))=0$（否则n阶矩会发散），而x=0时该项为0，因此最终得到：
$$\mathbb{E}[X^n] = n \int_{0}^\infty x^{n-1}(1-F_X(x)) dx$$
这就是非负随机变量n阶矩的尾和形式。

情况2：X是任意随机变量 #

我们可以把X拆成正部和负部：$X = X^+ - X^{-$，其中$X}+ = \max(X,0)$，$X^- = \max(-X,0)$。

• 如果n是偶数：$X^n = (X⁺⁾n + (X^-)n$，分别对$(X⁺⁾n$和$(X^-)n$用上面的非负变量公式，其中$(X^-)n$的尾和公式可以推导为$\mathbb{E}[(X^-)n] = n \int_{0}^\infty x^{n-1} F_X(-x) dx$（因为$1-F_{X^-}(x) = P(X^->x) = P(X < -x) = F_X(-x)$）。
• 如果n是奇数：$X^n = (X⁺⁾n - (X^-)n$，同样分别计算两部分再相减即可。

只要X的n阶矩存在，用这种推广后的尾和公式就能完成计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sentient