交换幺环下局部环模单射诱导的剩余域模映射是否单射？

首先直接给结论：一般情况下，这个诱导映射不一定是单射，我们可以构造一个简单的反例；而你提到的离散赋值环（DVR）的情况，也并非所有单射都能保证诱导映射单射，只有在特定条件下（比如$M$是有限生成无挠模、或者$f$是分裂单射）才成立。

反例构造 #

取局部环$A = k[t]/(t^{3)$，其中$k$是域，$A$的极大理想$\mathfrak{m}=(t)$（显然$\mathfrak{m}}2=(t^{2)\neq0$，$\mathfrak{m}}3=0$）：

• 令$M=\mathfrak{m}=(t)$，$N=A$，考虑包含映射$f: M \hookrightarrow N$，这显然是$A$-模的单射。
• 计算剩余域上的模：
  • $M/\mathfrak{m}M = \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = (t)/(t^{2)$，这是一个非零的$k$-向量空间（由$\overline{t}=t+\mathfrak{m}}2$生成）。
  • $N/\mathfrak{m}N = A/\mathfrak{m} = k$。
• 诱导映射$\overline{f}: M/\mathfrak{m}M \to N/\mathfrak{m}N$将$\overline{t}$映射到$t+\mathfrak{m}=0$（因为$t\in\mathfrak{m}$），所以$\overline{f}$是零映射，显然不是单射（因为定义域非零）。

这个例子完美说明，即使原映射是单射，诱导到剩余域上的映射也可能不是单射——核心原因是取商操作不保持左正合性，而局部环的极大理想幂次非零的特性给了我们构造这类反例的空间。

离散赋值环（DVR）的情况 #

你提到DVR时认为单射性成立，其实这个结论需要加上额外条件：

1. 当$M$是有限生成无挠DVR模：DVR上的有限生成无挠模都是自由模，假设$M\cong A^n$，$f: A^n \to N$是单射，那么$f$可以看作$N$的一个自由子模嵌入。此时诱导映射$\overline{f}: (A/\mathfrak{m})^n \to N/\mathfrak{m}N$就是向量空间的单射（因为自由模的基在剩余域上仍然是线性无关的）。
2. 当$f$是分裂单射：即存在$g: N \to M$使得$g\circ f = \text{id}M$，那么诱导映射$\overline{g}\circ\overline{f} = \text{id}{M/\mathfrak{m}M}$，显然$\overline{f}$必须是单射。

但如果没有这些条件，DVR上也存在反例：比如取$A=k[[t]]$（$k$域，DVR），$M=N=A$，$f: A\to A$是乘以$t$的映射，这是单射（因为$A$是整环），但诱导映射$\overline{f}: A/(t)\to A/(t)$是零映射，显然不是单射。

总结 #

• 对于一般的含单位元交换局部环，单射$A$-模映射诱导的剩余域模映射不一定是单射，反例很容易构造。
• 离散赋值环的情况只有在附加条件（如$M$有限生成无挠、$f$分裂）下，才能保证诱导映射的单射性，并非所有单射都满足。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathManiac