求被90、75、120除分别余75、60、105的最小数及解题方法

嘿，这两个问题其实是同一个，咱们一步步拆解来解决：

一、求解最小正整数 #

先仔细观察题目里的除数和余数：

• 90除余75 → 90 - 75 = 15
• 75除余60 → 75 - 60 = 15
• 120除余105 → 120 - 105 = 15

发现了吗？这个数加上15之后，就能被90、75、120同时整除！所以我们只需要先算出这三个数的最小公倍数（LCM），再减去15就是答案了。

计算最小公倍数 #

先分解每个数的质因数：

• 90 = 2 × 3² × 5
• 75 = 3 × 5²
• 120 = 2³ × 3 × 5

最小公倍数是取每个质因数的最高次幂相乘：
LCM(90,75,120) = 2³ × 3² × 5² = 8 × 9 × 25 = 1800

验证并得到结果 #

用最小公倍数减去15：1800 - 15 = 1785

咱们验证一下：

• 1785 ÷ 90 = 19余75（90×19=1710，1785-1710=75）
• 1785 ÷75=23余60（75×23=1725，1785-1725=60）
• 1785 ÷120=14余105（120×14=1680，1785-1680=105）
  完全符合题目要求，1785就是我们要找的最小正整数。

二、此类问题的通用解法 #

这类问题属于带余除法的整数求解问题，分两种核心情况处理：

情况1：除数与余数的差相等（本题属于这种） #

当所有除数 - 余数的结果都相等（设为k），那么目标数x满足：
x + k = LCM(除数1, 除数2, ..., 除数n)
此时x的最小正整数解就是LCM(所有除数) - k。这是最简便的特殊场景。

情况2：除数与余数的差不相等 #

这种时候需要用**中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）**来求解，大致步骤是：

1. 把问题转化为同余方程组：x ≡ r₁ mod m₁，x ≡ r₂ mod m₂，…，x ≡ rₙ mod mₙ（其中m是除数，r是余数）
2. 先检查方程组是否有解：如果两个除数的最大公约数不能整除它们对应余数的差，那么无解；反之有解。
3. 逐步求解每个同余式，合并得到最终的解集合，最小正整数解就是集合里最小的正数值。

比如遇到“x除以3余1，除以5余2，除以7余3”这类问题，就需要用中国剩余定理一步步推导计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Deepak Yadav