矩阵加法与主元点关联的线性代数技术问询

首先先帮你澄清一个表述问题：你说的“相合”应该是行等价（row equivalent）才对～“相合”在中文线性代数里通常指合同变换（对应英文的congruent），是和对称矩阵、二次型相关的概念；而每个矩阵通过初等行变换能得到唯一的简化行阶梯形矩阵（RREF），这个关系叫行等价，这个表述才准确哦。

接下来咱们聊聊主元点和矩阵的关联，还有你困惑的矩阵相加后的情况：

一、先搞懂主元点到底是什么 #

主元点（pivot positions）其实就是矩阵在化为RREF后，主元（首非零元）所在的行和列的位置。它本质上反映了矩阵列空间的“基列”位置，也直接决定了矩阵的秩——秩就是主元的个数。
举个例子：

RREF矩阵：
[1 2 0 3]
[0 0 1 4]
[0 0 0 0]

这里主元点就是(1,1)和(2,3)，对应的原矩阵的第1列和第3列就是列空间的基。

二、两个有确定主元点的矩阵相加，主元点会怎么变？ #

这其实没有固定的规律，得看具体矩阵的情况，我给你举几个典型例子：

• 情况1：相加后主元点数量不变，位置也不变
  比如两个3x3矩阵，它们的RREF都是：

  [1 0 0]
  [0 1 0]
  [0 0 1]
  

  主元点是(1,1),(2,2),(3,3)，那它们相加后的矩阵还是满秩的，RREF依然是单位矩阵，主元点位置不变。

• 情况2：相加后主元点数量减少，位置改变
  比如矩阵A的RREF是：

  [1 0]
  [0 1]
  

  主元点(1,1),(2,2)；矩阵B是-A，它的RREF其实和A一样（因为乘以-1是初等行变换），主元点也相同，但A+B是零矩阵，没有任何主元点。

  再比如A是：

  [1 1]
  [0 1]
  

  主元点(1,1),(2,2)；B是：

  [-1 0]
  [0 -1]
  

  主元点(1,1),(2,2)，相加后得到：

  [0 1]
  [0 0]
  

  RREF是：

  [0 1]
  [0 0]
  

  主元点只有(1,2)，数量和位置都变了。

• 情况3：相加后主元点数量增加
  这种情况也存在，比如A是：

  [1 0]
  [0 0]
  

  主元点(1,1)；B是：

  [0 0]
  [0 1]
  

  主元点(2,2)；相加后是单位矩阵，主元点变成两个，比原来每个都多。

三、核心结论 #

矩阵的主元点是由矩阵的列线性相关性决定的，而两个矩阵相加后，列的线性相关性可能发生各种变化，所以主元点的数量和位置没有固定的“继承”规律，必须具体问题具体分析。

如果你刚开始学，不用着急把所有情况都记住，多举几个小例子算一算，慢慢就能对主元点和矩阵的关系形成直觉啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jorge Zazueta