求每个站点至少1名乘客下车的概率（含20人3站点场景）

先理清原问题的矛盾点 #

原问题括号里提到“这意味着允许站点无人下车”，其实这是乘客下车的规则设定——每个乘客独立随机选择一个站点下车（所以理论上存在某个站点没人下车的情况），而我们要计算的是所有站点都至少有1名乘客下车的概率，这两者并不矛盾：规则允许无人下车，但我们要算的是“没有站点空着”的特殊情况概率。

一、泛问：通用解法 #

假设我们有 $n$ 名乘客，$k$ 个站点，每个乘客独立且等概率地选择任意一个站点下车（每个站点被选中的概率为 $1/k$），求每个站点至少有1名乘客下车的概率。

我们可以用容斥原理来解决：

1. 总共有 $k^n$ 种可能的下车方式（每个乘客有 $k$ 种选择）。
2. 定义事件 $A_i$ 为“第 $i$ 个站点无人下车”，我们要求的是所有事件 $A_i$ 都不发生的概率，也就是 $1 - P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)$。
3. 根据容斥原理展开：
   $$
   P = \sum_{m=0}^k (-1)^m \cdot \binom{k}{m} \cdot \left( \frac{k-m}{k} \right)^n
   $$
   或者换一种表述：符合条件的下车方式数等于把 $n$ 个乘客分到 $k$ 个非空站点的方法数（即第二类斯特林数 $S(n,k)$ 乘以 $k!$，因为每个子集对应一个站点），所以概率也可以写成：
   $$
   P = \frac{k! \cdot S(n,k)}{k^n}
   $$

二、具体场景计算（20名乘客 + 3个站点） #

代入 $n=20$，$k=3$ 到容斥公式里：
$$
P = 1 - \binom{3}{1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{20} + \binom{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{20}
$$

我们可以计算具体数值：

• $\left( \frac{2}{3} \right)^{20} \approx 0.0003007$，$\binom{3}{1}=3$，所以这部分是 $3 \times 0.0003007 \approx 0.0009021$
• $\left( \frac{1}{3} \right)^{20} \approx 3.007 \times 10^{-10}$，$\binom{3}{2}=3$，这部分数值极小，几乎可以忽略

最终概率约为 $1 - 0.0009021 + 0.0000000009 \approx 0.999098$，也就是约99.91%。

简单来说，20名乘客分到3个站点，几乎不可能出现某个站点没人下车的情况，所以这个概率非常接近1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gspoon