求均匀分布变量X与Y的联合p.m.f及条件p.m.f（X|Y）

我来帮你把这个概率推导整理清楚，并且按要求用Markdown格式呈现出来：

已知条件 #

• 变量X在集合{1, 2, 3, 4, 5}上服从均匀分布，因此对任意x ∈ {1,2,3,4,5}，有：
  P(X = x) = 1/5
• 变量Y在集合{1, 2, …, X}上服从均匀分布，因此给定X = x时，Y的条件概率为：
  P(Y = y | X = x) = (1/x) * 𝟙_{y ≤ x}
  （其中𝟙_{y ≤ x}是指示函数：当y ≤ x时取值为1，否则为0）

1. 联合概率质量函数P(X = x, Y = y) #

根据概率的乘法法则，联合概率等于边缘概率乘以条件概率：
P(X = x, Y = y) = P(X = x) * P(Y = y | X = x)

分情况讨论：

• 当x ∈ {1,2,3,4,5}且y ∈ {1,2,…,x}时：
  P(X = x, Y = y) = (1/5) * (1/x) = 1/(5x)
• 当y > x，或x不在{1,2,3,4,5}中，或y不在对应{1,2,…,x}范围内时：
  P(X = x, Y = y) = 0

2. 给定Y时X的条件概率质量函数P(X = x | Y = y) #

根据贝叶斯公式，条件概率可表示为：
P(X = x | Y = y) = P(X = x, Y = y) / P(Y = y)

第一步：计算P(Y = y)（Y的边缘概率）

利用全概率公式，对所有可能的x求和（仅当x ≥ y时，联合概率非零）：

P(Y = y) = Σ（x从y到5）P(X = x, Y = y)
         = Σ（x从y到5）1/(5x)
         = (1/5) * Σ（x从y到5）(1/x)

第二步：推导条件概率

将联合概率和边缘概率代入贝叶斯公式：

• 当x ≥ y且x ∈ {y, y+1, …, 5}时：

  P(X = x | Y = y) = [1/(5x)] / [(1/5) * Σ（k从y到5）(1/k)]
                   = (1/x) / [Σ（k从y到5）(1/k)]
  

• 当x < y或x不在{1,2,3,4,5}范围内时：
  P(X = x | Y = y) = 0

举个直观例子：当y=2时，Σ（k=2到5）(1/k) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 77/60，那么P(X=3 | Y=2) = (1/3) / (77/60) = 20/77。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hologram