全概率公式与二项分布：硬币抛掷概率计算及错误推理分析

本题出自Ross著作：硬币1抛掷时正面朝上概率为0.4，硬币2抛掷时正面朝上概率为0.7。随机选取其中一枚硬币抛掷10次，求恰好7次正面朝上的概率。现有如下推理，请指出其错误之处：设C为正面朝上事件，由全概率公式得$P(C)=\frac{1}{2}×0.7+\frac{1}{2}×0.4=0.55$，随后应用二项分布……

错误核心拆解 #

• 全概率公式的应用阶段完全错了：原推理先算单次正面的平均概率0.55，再套二项分布，这完全颠倒了逻辑顺序！咱们的问题是先固定选一枚硬币，再用这枚硬币连续抛10次，正确的姿势应该是先分别算出“选硬币1后10次出7正”和“选硬币2后10次出7正”的概率，再把这两个结果用全概率公式合并，而不是先把单次概率平均了再去算二项分布。
• 违背了二项分布的核心前提：二项分布要求每次试验的成功概率是固定不变的，但这里的成功概率是和所选硬币绑定的——用硬币1时每次成功概率是0.4，用硬币2时是0.7，这是两个完全独立的试验场景，不能硬把它们的单次概率揉成一个平均值来用，不然就等于默认每次抛硬币前都重新选一次硬币，和原问题“选一枚硬币抛10次”的设定完全不符！

正确的计算方式 #

咱们记事件$A$为“10次抛掷恰好7次正面”，$B_1$为“选到硬币1”，$B_2$为“选到硬币2”，按照全概率公式的正确用法：
$$
P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)
$$
其中每个$P(A|B_i)$都是对应硬币下的二项分布概率：

• 选硬币1时：P(A|B₁) = C(10,7) * (0.4)^7 * (0.6)^3
• 选硬币2时：P(A|B₂) = C(10,7) * (0.7)^7 * (0.3)^3
  再代入$P(B_1)=P(B_2)=0.5$，就能算出正确的结果啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user10