高中奥赛数论题：求证存在无穷多n满足p(n)<p(n+1)<p(n+2)

先明确核心问题：设$p(n)$表示正整数$n$的最大素因子，我们需要证明存在无穷多正整数$n$，使得不等式
$$p(n)<p(n+1)<p(n+2)$$
成立。

补充思路拆解 #

• 先尝试构造特殊形式的$n$：选取$n$为前$k$个素数的乘积，即$n=\prod_{i=1}^{k}p_i$（这里$p_i$代表第$i$个素数，比如$p_1=2$、$p_2=3$、$p_3=5$等）。
• 分析$n+1$的素因子特性：此时$n+1=\prod_{i=1}^{k}p_i+1$，这个数要么本身是一个比所有$p_i$都大的素数，要么它的所有素因子都大于$n$的最大素因子$p_k$。原因很简单——$n$能被前$k$个素数整除，那么$n+1$除以这些素数都会余1，不可能被它们整除，因此必然有$p(n+1)>p(n)$。
• 当前待解决的疑问：我们已经能确定$p(n)<p(n+1)$，但如何保证$p(n+2)$大于$p(n+1)$，还需要进一步的推导或构造思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QFTheorist