如何利用组合数公式代数证明${\binom{2n}{2}}=2{\binom{n}{2}}+n^2$

嘿，我来帮你把这个证明完整推导出来，顺便修正一下教材片段里的小笔误，让每一步都清晰易懂：

我们要证明的等式是：${\binom{2n}{2}}=2{\binom{n}{2}}+n^2$，全程用给定的组合数公式${\binom{n}{2}}=\frac{n(n-1)}{2}$来推导。

第一步：展开等式左边的组合数 #

直接套用组合数公式到左边的${\binom{2n}{2}}$：

${\binom{2n}{2}} = \frac{2n(2n-1)}{2}$

第二步：化简左边的表达式 #

分子的2和分母的2可以约掉，得到：

$\frac{2n(2n-1)}{2} = n(2n-1) = 2n^2 - n$

（这里教材里写的2n(n-1)是笔误，正确化简结果应该是n(2n-1)，展开后是2n² -n）

第三步：展开等式右边的表达式 #

先处理右边的$2{\binom{n}{2}}$部分，同样套用组合数公式：

$2{\binom{n}{2}} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

再加上$n^2$，得到：

$2{\binom{n}{2}} + n^2 = (n^2 - n) + n^2 = 2n^2 - n$

第四步：对比左右两边 #

左边化简后是$2n^2 - n$，右边展开后也是$2n^2 - n$，左右两边完全相等，因此等式${\binom{2n}{2}}=2{\binom{n}{2}}+n^2$得证。

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