是否存在无有限指数非平凡正规子群的无限有限展示群？

答案是肯定的，这类群不仅存在，还是组合群论里的经典研究对象。

核心属性与典型例子 #

这类群的关键特征是：无限阶、有限展示，且不存在非平凡的有限指数正规子群（换句话说，它们没有非平凡的有限商群——因为每个有限商群都对应一个有限指数的正规子群，反之亦然）。

最具代表性的例子有：

• Higman群：这是第一个被构造出来的此类群，由四个生成元 (a,b,c,d) 和以下关系定义：

  b^{-1}ab = a^2,
  c^{-1}bc = b^2,
  d^{-1}cd = c^2,
  a^{-1}da = d^2
  

  Higman证明了这个群是无限的、有限展示的，并且没有任何非平凡的有限商群——也就是说，它的所有正规子群要么是平凡子群，要么是无限指数的子群，完全匹配你的问题描述。

• Thompson群T和V：这两个群属于无限单群（单群本身就没有非平凡的正规子群，自然满足“无有限指数非平凡正规子群”的条件），同时它们也是有限展示的。Thompson群在组合群论和拓扑学领域都有重要地位，结构比Higman群更具直观性，常被用作无限单有限展示群的典型案例。

额外说明 #

需要区分的是：“无有限指数非平凡正规子群”和“是单群”并不完全等价。单群一定满足前者，但满足前者的群未必是单群——它可能存在无限指数的非平凡正规子群。不过上面提到的例子都是无限单有限展示群，是这类群里最核心的成员。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MSMalekan