勒贝格可积是否蕴含黎曼可积？非负函数积分定义相关疑问

嘿，刚好对这个问题比较熟悉，来给你拆解一下～

一、非负可测函数积分的上确界定义等价性 #

先引用你提到的教材定义和猜想：

书中对非负函数的可积性定义如下：
定义：设$f$为非负可测函数，则$f$的积分定义为$$\int f = \sup \left{ \int \phi : \ \phi \leq f \right},$$其中$\phi$为简单函数。显然该定义与黎曼积分的下积分一致，我认为与黎曼积分上积分等价的定义应为$$\int f = \inf \left{ \int \phi : \ \phi \geq f \right}$$

你的这个猜想其实是对的，针对非负可测函数，这两个定义是完全等价的，不管函数的积分是有限还是无穷大。

为什么呢？可以从简单函数逼近的角度理解：

• 首先，对于任意满足$\phi \leq f$的简单函数$\phi$，和任意满足$\psi \geq f$的简单函数$\psi$，显然$\int \phi \leq \int \psi$，所以左边的上确界一定小于等于右边的下确界。
• 另一方面，根据非负可测函数的逼近定理：我们可以构造递增的简单函数列${\phi_n}$收敛到$f$，同时构造递减的简单函数列${\psi_n}$收敛到$f$（无界函数可以通过截断来构造）。这时候$\int \phi_n$会趋近于$\int f$，$\int \psi_n$也会趋近于$\int f$，这就意味着右边的下确界不会超过$\int f$，左边的上确界不会小于$\int f$。

结合这两点，就可以得到两个定义的结果完全相等。不过要注意，这个等价性只适用于非负可测函数，如果是带负值的一般可测函数，我们需要拆分正部和负部分别积分，这时候就不能直接用这个inf的定义了。

二、勒贝格可积是否蕴含黎曼可积？ #

答案是完全不成立，甚至两者的包含关系是反过来的：

• 闭区间上的黎曼可积函数，一定是勒贝格可积的，而且两种积分的结果完全相同。这是因为黎曼可积的充要条件（勒贝格准则）是：函数在闭区间上有界，且不连续点集是零测集——而满足这个条件的函数必然是勒贝格可测且可积的。
• 但勒贝格可积的函数，绝大多数都不是黎曼可积的。举个最经典的例子：狄利克雷函数，定义在$[0,1]$上，有理数点取1，无理数点取0。它的勒贝格积分是0（因为有理数集是零测集，勒贝格积分忽略零测集上的取值），但它的黎曼积分不存在——黎曼积分的下积分是0，上积分是1，上下积分不相等，不符合黎曼可积的要求。

再比如，我们可以构造一个在$[0,1]$上的函数，其不连续点集是一个正测度的胖康托集，这个函数有界且勒贝格可积，但因为不连续点集的测度大于0，根据勒贝格准则，它是黎曼不可积的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者George