利用均值定理证明幂函数相关不等式的技术求助

最近我一直在练习用均值定理（拉格朗日中值定理）提升解题能力，刚好碰到这么一道经典的不等式证明题：

题目要求 #

当$x \in (0, +\infty)$时，证明：

• 若$a > 1$，则$(1+x)^a>ax+1$；
• 若$a \in (0, 1)$，则$(1+x)^a<ax+1$。

我的初步推导过程 #

我首先想到构造合适的函数来应用中值定理，于是选取闭区间$[0,x]$上的函数$f(t)=(1+t)^a$，先对它求导：
$$f'(t)=a(1+t)^{a-1}$$
接着应用拉格朗日中值定理——因为$f(t)$在$[0,x]$上连续，在$(0,x)$内可导，所以存在某个$k \in (0,x)$，使得：
$$ f'(k)={{f(x)-f(0)}\over{x-0}}={{(1+x)^a-1}\over{x}} $$

接下来我打算通过分析$f'(t)$的单调性，结合$k$的取值范围，来推导最终的不等式关系~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Angel Politis