群G与<G,*>同构证明求助：已证<G,*>为群，求同构映射提示

首先，先明确我们要找的是双射映射，同时满足“保持运算”的条件——也就是对于两个群的运算（原群的普通乘法·，新群的运算*），映射要把一个群里的运算结果对应到另一个群里对应元素的运算结果。

给你几个具体的思考方向：

• 从单位元入手定位映射：先找到新群$\langle G, * \rangle$的单位元，设为$e'$。根据单位元的定义，对任意$a\in G$有$ae'=a$，代入$ab=agb$可得$ag e'=a$，两边左乘$a^{{-1}$就能得到$e'=g}{-1}$。同构映射必然会把一个群的单位元映射到另一个群的单位元，这可以帮我们初步锁定映射的形式。

• 尝试构造平移类映射：群里的左/右平移映射天然是双射，这是个很好的切入点：

  • 如果我们要构造从原群$(G,·)$到新群$\langle G, * \rangle$的同构，试试$\varphi(x)=x g^{-1}$：
    1. 验证双射：右乘$g^{-1}$是群的双射（逆映射就是右乘$g$）；
    2. 验证运算保持：$\varphi(a·b)=ab g^{-1}$，而$\varphi(a)\varphi(b)=(a g^{-1}) (b g^{-1})=(a g^{-1})g(b g^{-1})=a b g^{-1}$，两者完全相等，满足同构的要求。
  • 如果反过来构造从$\langle G, * \rangle$到$(G,·)$的同构，试试$\psi(x)=x g$：
    1. 双射性：右乘$g$是群的双射；
    2. 运算保持：$\psi(ab)=(ab)g=agb g$，而$\psi(a)·\psi(b)=(a g)(b g)=agb g$，同样满足条件。

• 验证的小技巧：不确定映射是否正确时，先代入单位元看看是否对应，再用任意元素验证运算保持的条件，这样能快速排查错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Traveler