技术求证：素数p下，$a^p + b^p = c^p + d^p$ 是否蕴含$(a+b) \equiv (c+d) \mod p$？

设a、b、c、d为互不相同的正整数，p为素数。请问命题“若$a^p + b^p = c^p + d^p$，则$(a+b) \equiv (c+d) \mod p$”是否成立？

你的推理已经走了九成，只差最后一步收尾啦！咱们把推导补全：

首先，你已经通过费马小定理得到了两个关键的模等价关系：
$$(a^p + b^p) \equiv (a + b) \mod p$$
$$(c^p + d^p) \equiv (c + d) \mod p$$

题目里给出了$a^p + b^p = c^p + d^p$，那这两个相等的数模p的余数肯定也相等，也就是：
$$(a^p + b^p) \equiv (c^p + d^p) \mod p$$

把前面的两个等价关系代入进来，直接就能得到：
$$(a + b) \equiv (c + d) \mod p$$

所以这个命题是完全成立的。

额外补充个小细节：费马小定理的扩展形式$x^p \equiv x \mod p$对所有整数x都适用，不管x和p是否互质，所以哪怕a、b、c、d中有数是p的倍数，这个推导依然成立，整个逻辑链没有漏洞~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Supware