如何计算积分∫(14x+2)/(x²+4)dx？求超越函数作业解法

嘿，我来帮你理清这个积分的解题思路！其实这个题目不需要用到$\sec^{-1}$相关的知识，咱们拆解一下就能轻松解决～

步骤1：拆分被积函数 #

利用积分的线性性质，把原式拆成两个独立的积分：
$$
\int \frac{14x+2}{x^2+4}dx = \int \frac{14x}{x^2+4}dx + \int \frac{2}{x^2+4}dx
$$
这样拆分后，每个积分的形式都更简单，我们可以分别处理。

步骤2：用换元法计算第一个积分 $\boldsymbol{\int \frac{14x}{x^2+4}dx}$ #

观察到分子是分母的导数的倍数，适合用换元法：

• 令 $u = x^2 + 4$，对$u$求导可得 $du = 2x dx$，也就是 $x dx = \frac{1}{2}du$
• 将$u$和$du$代入积分：
  $$
  \int \frac{14x}{x^2+4}dx = 14 \times \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = 7 \ln|u| + C_1
  $$
• 把$u = x^2 + 4$代回，因为$x^2+4$恒大于0，所以可以去掉绝对值：
  $$
  7\ln(x^2+4) + C_1
  $$

步骤3：用标准反三角函数公式计算第二个积分 $\boldsymbol{\int \frac{2}{x^2+4}dx}$ #

回忆一下常见的积分公式：$\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$，这里$a=2$：

• 代入公式计算：
  $$
  \int \frac{2}{x^2+4}dx = 2 \times \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 = \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_2
  $$

步骤4：合并结果 #

把两个积分的结果相加，合并常数项$C = C_1 + C_2$，得到最终的不定积分：
$$
\int \frac{14x+2}{x^2+4}dx = 7\ln(x^2+4) + \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
$$

小补充：你提到的$\sec^{-1}$相关知识，一般是在处理形如$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}}dx$这类积分时才会用到，这个题目里的第二个积分是反arctan的典型形式，所以不用往反方向上纠结哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ben DeRenzi