已知f(x)严格递增，求使h(x)非单调的a的取值集合

开发者阿泽

2026-5-19

分析与解答

首先，我们拆解问题的核心逻辑：因为f(x)是严格递增函数，所以其导数f’(x) > 0在定义域内恒成立。h(x)的单调性完全由其导数的符号决定，先对h(x)求导：

h’(x) = f’(x) · [1 - 2a f(x) + 3a f(x)²]

由于f’(x) > 0，h(x)的单调性等价于二次函数g(t) = 3a t² - 2a t + 1（令t = f(x)）的符号变化。h(x)非单调的本质是：存在某个严格递增的f(x)，使得g(t)在f(x)的值域内既有正值也有负值（这样h’(x)会正负交替，导致h(x)非单调）。

接下来分情况讨论a的取值：

当a = 0时：g(t) = 1，恒为正。此时h’(x) = f’(x) · 1 > 0，h(x)严格递增，是单调函数，不符合要求。
当0 < a ≤ 3时：g(t)是开口向上的二次函数，判别式Δ = (2a)² - 4·3a·1 = 4a(a-3)。因为0 < a ≤ 3，所以Δ ≤ 0，这意味着g(t) ≥ 0恒成立（仅当a=3时，g(t)在t=1/3处取到0）。由于f(x)严格递增，其值域是一个区间，最多只有一个点使得g(t)=0，因此h’(x) ≥ 0且几乎处处为正，h(x)严格递增，是单调函数，不符合要求。
当a > 3时：g(t)开口向上且Δ > 0，存在两个不同的实根t₁ < t₂，g(t)在(t₁, t₂)内为负，在(-∞, t₁)和(t₂, +∞)内为正。我们取f(x)=x（严格递增且值域为全体实数），此时h’(x)=g(x)会正负交替，h(x)必然是非单调的，符合要求。
当a < 0时：g(t)开口向下且Δ = 4a(a-3) > 0（因为a和a-3都为负，乘积为正），存在两个不同实根t₁ < t₂，g(t)在(t₁, t₂)内为正，在(-∞, t₁)和(t₂, +∞)内为负。同样取f(x)=x，h’(x)=g(x)会正负交替，h(x)非单调，符合要求。