如何证明若环R存在零因子，则环S=R×ℤ也存在零因子？

嘿，这个问题其实完全可以借助R中零因子的定义直接构造出S里的零因子，思路一点都不绕，我给你一步步拆解清楚：

首先明确几个核心前提：

• 已知环R存在零因子，也就是说存在R中的非零元素 (a, b)，使得 (a \cdot_R b = 0_R)（这里用 (\cdot_R) 和 (0_R) 标记R中的乘法和零元，避免和S中的运算混淆）。
• 环S的零元是 ((0, 0))：因为S的加法是分量逐元素相加，只有当两个分量分别是R和ℤ的零元时，才能满足“与任意元素相加不改变该元素”的零元定义。
• 我们的目标是找到S中的两个非零元素，它们的乘积等于S的零元 ((0,0))。

构造候选零因子 #

从R的零因子出发，构造S中的两个元素：

• 取 (x = (a, 0))，其中a是R中那个非零的零因子；
• 取 (y = (b, 0))，其中b是R中与a配对的非零零因子（满足 (a \cdot_R b = 0_R)）。

先确认这两个元素都是S中的非零元素：

• (x = (a, 0) \neq (0, 0))，因为 (a) 是R的非零元素；
• (y = (b, 0) \neq (0, 0))，同理 (b) 也是R的非零元素。

验证乘积为零元 #

根据题目给出的S的乘法规则：

(r,n) · (s,m) = (rs + ns + mr, nm)

代入x和y的分量计算：
[
(a, 0) \cdot (b, 0) = (a \cdot_R b + 0 \cdot b + 0 \cdot a, 0 \times 0)
]
因为 (a \cdot_R b = 0_R)，而且0乘以任何元素（不管是R里的还是ℤ里的）结果都是对应环的零元，所以化简后：
[
(a, 0) \cdot (b, 0) = (0_R + 0_R + 0_R, 0_{\mathbb{Z}}) = (0, 0)
]

结论 #

我们找到了S中的两个非零元素 (x=(a,0)) 和 (y=(b,0))，它们的乘积恰好是S的零元。这就证明了S也存在零因子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User2648648