证明验证：若σ不是轮换，可表为至多n-2个对换的乘积

嘿，我来帮你把这个置换群的证明理清楚～你的思路方向是对的，但有些细节需要调整，咱们一步步来：

首先，咱们先回忆置换的核心性质：Sₙ里的任何置换都能唯一分解成两两不相交的轮换乘积（不动点就是长度为1的轮换，通常可以省略不写）。

因为σ不是轮换，这就意味着它的轮换分解里至少有两个非平凡轮换（也就是长度≥2的轮换）——如果只有一个非平凡轮换，那不管有没有不动点，σ本质上就是个轮换，不符合咱们的前提。

接下来，用一个基础的轮换转对换的结论：

• 一个长度为m的轮换，比如(a₁a₂…aₘ)，可以写成m-1个对换的乘积，具体分解是：(a₁aₘ)(a₁aₘ₋₁)…(a₁a₂)

现在咱们来算σ分解后的对换总数：
假设σ的不相交轮换分解是σ = τ₁τ₂…τₖ，其中k≥2（因为不是轮换），每个τᵢ是长度为mᵢ≥2的非平凡轮换。这些轮换覆盖的元素总数是t = m₁+m₂+…+mₖ，显然t≤n（如果有不动点的话，t就小于n）。

那σ分解成对换的总数就是：
$$\sum_{i=1}^k (m_i - 1) = (\sum_{i=1}^k m_i) - k = t - k$$

现在咱们来卡这个数的上限：

• 如果σ没有不动点（也就是t=n）：因为k≥2，所以t-k = n -k，最小的k是2，所以这个数最大就是n-2；
• 如果σ有不动点（t<n）：那t≤n-1，再加上k≥2，t-k ≤ (n-1)-2 = n-3，显然也小于n-2。

这么一来，不管σ有没有不动点，它分解成对换的数目都不会超过n-2，也就证明了结论。

帮你修正思路里的小误区 #

你提到“若|σ|=n，则σ=(a₁a₂)(a₃a₄)⋯(aₙ₋₁aₙ)的对换总数为n-2”，这里有两个小问题：

• 置换的阶|σ|是它的轮换长度的最小公倍数，当|σ|=n时，σ要么是n阶轮换（这属于轮换，不在咱们的讨论范围内），要么是多个轮换的乘积但长度的LCM是n，比如n=6时，σ=(123)(456)的阶是6，但它的对换数目是2+2=4，刚好等于n-2，但这只是一种特殊情况；
• 你举的那种成对对换的分解，只适用于n是偶数的情况，而且对换数目是n/2，当n≥4时，n/2 ≤n-2（比如n=4时2=2，n=6时3≤4），其实也符合咱们的结论，但这不是非轮换置换的全部情况哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user482939