确定使序列(uₙ)恒为正的正实数a的取值条件

给定正实数 (a>0)，序列 ((u_n)) 按如下规则定义：
$$ u_{n+1} = a - \frac{1}{u_n} \quad 且 \quad u_0 = a. $$

我尝试解决这个问题时，最先想到的是推导 (u_n) 的通项公式，以此建立对a的约束条件。我先计算了序列的前几项：
$$ u_1 = a - \frac{1}{u_0} = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2-1}{a}, $$
$$ u_2 = a - \frac{1}{u_1}= a - \frac{a}{a^2-1}=\frac{a3-2a}{a^2-1}, $$
$$ u_3 = a - \frac{1}{u_2} = \dots $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者albert