均值为1的独立泊松随机变量：求P(max(X₁,X₂,X₃)=1)的值

设X₁、X₂、X₃为均值为1的独立泊松随机变量，求P(max(X₁,X₂,X₃)=1)的取值，选项为：(A)1-e⁻³ (B)e⁻³ (C)1-8e⁻³ (D)7e⁻³。

你已经会算P(max(X₁,X₂,X₃)≤1)了，其实只要再往前推一步就能搞定目标概率啦！核心思路是利用概率的区间拆分逻辑：

• 对于非负整数型的随机变量，最大值恰好等于1的概率，等于「所有变量都不超过1的概率」减去「所有变量都不超过0的概率」。用公式表示就是：
  P(max(X₁,X₂,X₃)=1) = P(max(X₁,X₂,X₃)≤1) - P(max(X₁,X₂,X₃)≤0)
  这个逻辑很好理解：前者包含了“所有变量≤1”的全部情况（全0、部分1部分0），后者是“全0”的情况，两者相减就剩下“至少有一个变量是1，且没有变量超过1”的情况，也就是最大值恰好为1的情况。

接下来我们一步步计算：

1. 计算单个泊松变量的基础概率
   已知X~P(λ=1)，泊松分布的概率公式为P(X=k) = (λᵏe⁻ᵏ)/k!：

   • P(X=0) = (1⁰e⁻¹)/0! = e⁻¹
   • P(X=1) = (1¹e⁻¹)/1! = e⁻¹
   • 因此P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = e⁻¹ + e⁻¹ = 2e⁻¹

2. 计算P(max(X₁,X₂,X₃)≤1)
   因为三个变量独立，直接取单个变量概率的三次方：
   P(max≤1) = [P(X≤1)]³ = (2e⁻¹)³ = 8e⁻³

3. 计算P(max(X₁,X₂,X₃)≤0)
   泊松变量是非负整数，“≤0”意味着所有变量都等于0，同样利用独立性：
   P(max≤0) = [P(X=0)]³ = (e⁻¹)³ = e⁻³

4. 计算最终结果
   代入最开始的公式：
   P(max=1) = 8e⁻³ - e⁻³ = 7e⁻³
   对应选项是D。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR