基于欧拉反射公式的伽马函数商式化简问题咨询

嗨，这个问题其实可以直接从你提到的欧拉反射公式变形推导出来，我一步步给你拆解清楚：

一般情况的化简推导 #

首先回顾欧拉反射公式：
$$\Gamma(m) \Gamma(1-m) = \frac{\pi}{\sin(m \pi)}$$

我们可以把这个公式变形，解出$\frac{\Gamma(m)}{\Gamma(1-m)}$：

1. 先从反射公式中解出$\Gamma(1-m)$：
   $$\Gamma(1-m) = \frac{\pi}{\sin(m\pi) \cdot \Gamma(m)}$$
2. 将其代入商式$\frac{\Gamma(m)}{\Gamma(1-m)}$，得到：
   $$\frac{\Gamma(m)}{\Gamma(1-m)} = \frac{\sin(m\pi) \cdot [\Gamma(m)]^2}{\pi}$$

这就是$\frac{\Gamma(m)}{\Gamma(1-m)}$的通用化简形式。

实例：化简$\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$ #

我们用上面的结论来处理这个具体例子：

1. 首先代入$m=1/4$，$\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以：
   $$\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot [\Gamma(1/4)]^2}{\pi} = \frac{\sqrt{2} \cdot [\Gamma(1/4)]^2}{2\pi}$$

2. 另外，我们也可以结合Γ函数的加倍公式（$\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})$）来验证或转换：

   • 当$z=\frac{1}{4}$时，$\Gamma(2 \cdot \frac{1}{4})=\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$，代入加倍公式得：
     $$\sqrt{\pi} = \frac{2^{2 \cdot \frac{1}{4} -1}}{\sqrt{\pi}} \cdot \Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})$$
   • 化简右边的系数：$2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以：
     $$\sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} \cdot \Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})$$
   • 两边同时乘以$\sqrt{2}\sqrt{\pi}$，得到：
     $$\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4}) = \sqrt{2}\pi$$
   • 结合这个结果，我们也可以把$\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$写成：
     $$\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)} = \frac{[\Gamma(1/4)]^2}{\sqrt{2}\pi}$$
     这和之前的推导结果完全一致。

如果需要数值参考的话，$\Gamma(\frac{1}{4}) \approx 3.6256$，$\Gamma(\frac{3}{4}) \approx 1.2254$，它们的商大约是$2.958$，和公式计算的结果匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sweta