为何满足M≅M⊕M的非零左R-模M既非Noetherian也非Artinian？

嘿，这个问题咱们用反证法来拆解就很清楚啦，分别从Noetherian模和Artinian模的核心定义出发，利用 ( M \cong M \oplus M ) 这个同构构造矛盾就行～

首先回忆一下：Noetherian模的核心性质是满足升链条件（ACC）——也就是说，任何形如 ( N_1 \subseteq N_2 \subseteq N_3 \subseteq \dots ) 的子模链，最终都会稳定下来（存在某个k，使得 ( N_k = N_{k+1} = \dots )）。

现在假设M是Noetherian模，我们来导出矛盾：
因为 ( M \cong M \oplus M )，所以M可以分解成两个与自身同构的子模的直和，也就是存在非零子模 ( A_1, B_1 \subseteq M )，使得 ( M = A_1 \oplus B_1 )，且 ( A_1 \cong M )，( B_1 \cong M )。
既然 ( A_1 \cong M )，那A₁也能继续分解：( A_1 = A_2 \oplus B_2 )，其中 ( A_2 \cong M )，( B_2 \cong M )。
以此类推，我们可以递归地构造出一系列子模 ( B_1, B_2, B_3, \dots )，然后构造下面的升链：
( B_1 \subseteq B_1 \oplus B_2 \subseteq B_1 \oplus B_2 \oplus B_3 \subseteq \dots )
每个后续的子模都比前一个多了一个非零的Bᵢ（因为M非零，Bᵢ≅M也非零），所以这个链是严格递增的，永远不会稳定下来——这直接违反了Noetherian模的升链条件。
所以假设不成立，M不可能是Noetherian模。

同样先回忆定义：Artinian模的核心性质是满足降链条件（DCC）——任何形如 ( N_1 \supseteq N_2 \supseteq N_3 \supseteq \dots ) 的子模链，最终都会稳定下来。

还是用反证法，假设M是Artinian模：
还是利用 ( M \cong M \oplus M )，先把M分解为 ( M = A_1 \oplus B_1 )，其中 ( A_1 \cong M )，( B_1 \cong M )。
因为A₁≅M，所以A₁也能分解为 ( A_1 = A_2 \oplus B_2 )，( A_2 \cong M )，( B_2 \cong M )。
继续递归下去，得到一系列子模 ( A_1, A_2, A_3, \dots )，构造降链：
( M \supseteq A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \dots )
每个Aᵢ都是前一个Aᵢ₋₁的真子模（因为 ( A_{i-1} = A_i \oplus B_i )，Bᵢ非零），所以这个链是严格递减的，永远不会稳定——这违反了Artinian模的降链条件。
所以假设不成立，M也不可能是Artinian模。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者siwar