关于检验功效函数Q(θ)=1-Φ(22.5-3θ)及Q(θ₁)=1-β的推导疑问

嘿，我来帮你把这个统计问题拆解清楚，分两部分给你讲明白：

一、为什么$Q(\theta_1)=1-\beta$？ #

先把核心定义理清楚，这部分其实是逻辑上的对立事件关系：

• 功效函数$Q(\theta)$：它的本质是当总体参数为$\theta$时，*拒绝原假设$H_0$*的概率，也就是$Q(\theta)=P_{\theta}(\mathcal{R})$，其中$\mathcal{R}$是题目里的拒绝域$\bar{X}>7.5$。
• 第二类错误$\beta$：定义很明确，就是*当$H_1$为真时（也就是$\theta=\theta_1=8$），错误地接受$H_0$*的概率，写成公式就是$\beta=P_{\theta_1}(\text{接受}H_0)$。

因为“拒绝$H_0$”和“接受$H_0$”是完全对立的事件——要么拒绝要么接受，没有第三种可能，所以它们的概率加起来等于1：
$$P_{\theta_1}(\text{拒绝}H_0) + P_{\theta_1}(\text{接受}H_0) = 1$$
把对应的符号代入进去，就得到：
$$Q(\theta_1) = 1 - \beta$$

二、推导$Q(\theta)=1-\Phi(22.5-3\theta)$，重点解释系数3的来源 #

这部分关键是搞清楚样本均值的分布，然后做标准化处理，一步步来：

1. 确定样本均值$\bar{X}$的分布
   已知每个样本$X_i$服从$N(\theta,1)$，样本量是9。根据正态分布的抽样特性，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^9 X_i$也服从正态分布，而且：
   $$\bar{X} \sim N\left(\theta, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$
   这里总体方差$\sigma^{2=1$，$n=9$，所以$\frac{\sigma}2}{n}=\frac{1}{9}$，也就是说$\bar{X}$的标准差是$\frac{1}{3}$，即$\bar{X} \sim N\left(\theta, \left(\frac{1}{3}\right)^2\right)$。

2. 标准化样本均值，得到标准正态变量
   要计算$P_{\theta}(\bar{X}>7.5)$，我们需要把$\bar{X}$转换成标准正态分布$Z \sim N(0,1)$，标准化的公式是：
   $$Z = \frac{\text{随机变量} - \text{它的期望}}{\text{它的标准差}}$$
   代入$\bar{X}$的期望$\theta$和标准差$\frac{1}{3}$，就得到：
   $$Z = \frac{\bar{X} - \theta}{1/3} = 3(\bar{X} - \theta)$$
   这里的系数3就是这么来的——它是样本量$n=9$的平方根（$\sqrt{9}=3$），本质上是样本均值标准差的倒数（$\frac{1}{1/3}=3$）。

3. 计算功效函数$Q(\theta)$
   功效函数$Q(\theta)$就是$P_{\theta}(\bar{X}>7.5)$，我们把刚才的标准化变量代入进去：
   $$
   \begin{align*}
   Q(\theta) &= P\left(\bar{X} > 7.5\right) \
   &= P\left(3(\bar{X} - \theta) > 3(7.5 - \theta)\right) \
   &= P\left(Z > 22.5 - 3\theta\right)
   \end{align*}
   $$
   而标准正态分布的分布函数$\Phi(z)$表示的是$P(Z \leq z)$，所以$P(Z > a)=1 - \Phi(a)$，替换进去就得到：
   $$Q(\theta)=1-\Phi(22.5-3\theta)$$

这样整个推导就通了，系数3的核心就是样本量的平方根，和样本均值的标准差直接相关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user122424