求解含虚根的组合数八次方程：$^8C_0x^8 + ^8C_2x^6 +...+1=0$

你第一步把原方程转化为(1+x)^8 + (1-x)^8 = 0的思路完全正确，这是解决这类对称二项式和方程的关键一步！接下来我们就用棣莫弗定理一步步拆解求解，每一步都给你讲清楚：

先把方程移项得到：
(1+x)^8 = -(1-x)^8
显然x=1不是原方程的根（代入原方程左边结果为1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128 ≠ 0），所以我们可以安全地两边同时除以(1-x)^8，得到：
[(1+x)/(1-x)]^8 = -1

设y = (1+x)/(1-x)，现在问题就转化为解复数方程y^8 = -1。
首先把-1写成极坐标形式：-1 = cosπ + i sinπ（也可以写成指数形式e^(iπ)）。根据棣莫弗定理，n次复数根的一般形式为cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)，这里θ=π，n=8，所以y的所有根为：

y_k = cos((π + 2kπ)/8) + i sin((π + 2kπ)/8)，其中k=0,1,2,...,7
化简角度后可以写成：
y_k = cos((2k+1)π/8) + i sin((2k+1)π/8)

接下来把y = (1+x)/(1-x)变形解出x：

y(1 - x) = 1 + x
y - yx = 1 + x
y - 1 = x(1 + y)
x = (y - 1)/(y + 1)

我们可以用三角函数恒等式来简化这个表达式：对于y = cosθ + i sinθ（这里θ=(2k+1)π/8），代入后利用1 - cosθ = 2sin²(θ/2)、1 + cosθ = 2cos²(θ/2)、sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)进行化简，最终可以得到：
x_k = i tan((2k+1)π/16)，其中k=0,1,2,...,7

原方程是8次多项式方程，我们得到了8个纯虚数复根，完全符合代数基本定理。把x = i t（t为实数）代入原方程，会发现左边恰好等于(1+i t)^8 + (1-i t)^8的一半，而我们的变形过程已经保证了这个值为0，所以这些根都是有效的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Manish Kundu