组合数学证明求助：证奇数项组合数加权和等于偶数项加权和

先明确前提：这个等式当$\boldsymbol{n \geq 2}$时成立；若n=1，左边为1、右边为0，等式不成立，所以我们默认n是≥2的正整数。

方法1：代数法（二项式定理+求导） #

从经典的二项式展开式入手：
$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k$$
对等式两边关于x求导，得到：
$$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}x^{k-1}$$
两边同时乘以x，将指数对齐：
$$nx(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}x^k$$

现在把$\boldsymbol{x=-1}$代入上式：

• 左边：$n*(-1)(1-1)^{n-1} = n(-1)*0^{{n-1}$，当n≥2时，$0}{n-1}=0$，所以左边整体为0。
• 右边：$\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}(-1)^k = \sum_{k \text{ even}} k\binom{n}{k} - \sum_{k \text{ odd}} k\binom{n}{k}$

因为左边等于右边，所以：
$$0 = \sum_{k \text{ even}} k\binom{n}{k} - \sum_{k \text{ odd}} k\binom{n}{k}$$
移项后就得到我们要证明的等式：
$$\sum_{k \text{ odd}} k\binom{n}{k} = \sum_{k \text{ even}} k\binom{n}{k}$$

方法2：组合解释法 #

给等式两边赋予实际的组合意义：

• 左边：$\sum_{k \text{ odd}} k\binom{n}{k}$ 代表：从n个元素中选一个奇数大小的子集，再从这个子集里选一个「代表元素」的总方案数。
• 右边：$\sum_{k \text{ even}} k\binom{n}{k}$ 代表：从n个元素中选一个偶数大小的子集，再从这个子集里选一个「代表元素」的总方案数。

换个角度计数：固定某个元素i，计算它在左右两边分别被计数多少次：

• 左边：元素i被计数的次数 = 包含i的奇数大小子集的数量。选包含i的奇数子集，等价于从剩下的n-1个元素中选偶数个元素（加上i后总数为奇数），而n-1个元素选偶数个的方案数是$2^{n-2}$（二项式系数的奇偶项和相等，当n-1≥1时成立）。
• 右边：元素i被计数的次数 = 包含i的偶数大小子集的数量。同理，这等价于从剩下的n-1个元素中选奇数个元素，方案数也是$2^{n-2}$。

每个元素在左右两边的计数次数都是$2^{{n-2}$，总共有n个元素，所以左边总和是$n*2}{n-2}$，右边总和也是$n*2^{n-2}$，二者相等，等式得证。

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