有限维向量空间零化子等式证明：$W_1^0+W_2^0=(W_1\cap W_2)^0$

好的，咱们来搞定这个反向包含的证明！已知$\dim V<\infty$，$W_1,W_2$是$V$的子空间，且你已经证得$W_1^0+W_20\subset (W_1\cap W_2)^0$，接下来我们要证明**$(W_1\cap W_2)^0 \subset W_1^0 + W_2^0$**。

我们会用到有限维向量空间的几个关键性质，这些是解决问题的核心：

• 对于$V$的任意子空间$S$，零化子的维数公式：$\dim S^0 = \dim V - \dim S$
• 子空间的维数公式：$\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$
• 零化子的交集性质：$W_1^0 \cap W_2^0 = (W_1 + W_2)^0$（这个性质可以直接由零化子定义验证：$f\in W_1^0 \cap W_2^0$等价于$f$在$W_1$和$W_2$上都取0，自然在它们的和空间上也取0，反之亦然）

步骤1：计算两边子空间的维数 #

首先，计算$(W_1\cap W_2)^0$的维数：
$$\dim (W_1\cap W_2)^0 = \dim V - \dim(W_1\cap W_2)$$

接下来计算$W_1^0 + W_2^0$的维数，利用子空间和的维数公式：
$$\dim(W_1^0 + W_2^0) = \dim W_1^0 + \dim W_2^0 - \dim(W_1^0 \cap W_2^0)$$

代入零化子的维数公式和交集性质：

• $\dim W_1^0 = \dim V - \dim W_1$，$\dim W_2^0 = \dim V - \dim W_2$
• $\dim(W_1^0 \cap W_2^0) = \dim (W_1+W_2)^0 = \dim V - \dim(W_1+W_2)$

把这些代入上式展开化简：
$$
\begin{align*}
\dim(W_1^0 + W_2^0) &= (\dim V - \dim W_1) + (\dim V - \dim W_2) - (\dim V - \dim(W_1+W_2)) \
&= \dim V - \dim W_1 - \dim W_2 + \dim(W_1+W_2)
\end{align*}
$$

再把子空间维数公式$\dim(W_1+W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1\cap W_2)$代入：
$$
\begin{align*}
\dim(W_1^0 + W_2^0) &= \dim V - \dim W_1 - \dim W_2 + (\dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1\cap W_2)) \
&= \dim V - \dim(W_1\cap W_2)
\end{align*}
$$

步骤2：利用维数相等推导包含关系 #

现在我们得到了关键结论：
$$\dim(W_1^0 + W_2^0) = \dim (W_1\cap W_2)^0$$

结合你已经证明的$W_1^0 + W_2^0 \subset (W_1\cap W_2)^0$，在有限维向量空间中，若一个子空间包含另一个子空间且两者维数相等，那么这两个子空间必然完全相等。因此反向包含关系成立：
$$(W_1\cap W_2)^0 \subset W_1^0 + W_2^0$$

结合已证的正向包含，最终就有$W_1^0+W_20=(W_1\cap W_2)^0$，证明完成！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Derso