特征值公约数与矩阵幂的关系：证明A⁴所有元素为5的倍数

首先先确认一个前提：整数矩阵的任意幂次都是整数矩阵，因为整数相乘的结果还是整数，所以$A^4$的元素肯定都是整数，咱们只需要证明这些整数都能被5整除。

接下来分两种思路，都可以从你的观察出发：

思路1：利用可对角化的性质 #

你已经找对了核心方向！既然$A$可对角化，且特征值为$0,0,5,10$，根据可对角化的定义，存在可逆矩阵$P$，使得：
A = PΛP⁻¹
其中$\Lambda$是对角矩阵：Λ = diag(0, 0, 5, 10)

现在计算$A^4$，利用矩阵乘法的结合律，中间的$P⁻¹P$都会抵消：
A⁴ = (PΛP⁻¹)(PΛP⁻¹)(PΛP⁻¹)(PΛP⁻¹) = PΛ⁴P⁻¹

$\Lambda^{4$的对角元是特征值的四次方：$0}4, 0^4, 5^4, 10^4$，也就是0, 0, 625, 10000，显然每个对角元都是5的倍数，所以我们可以把$\Lambda^4$写成5K，其中$K$是对角整数矩阵（K = diag(0, 0, 125, 2000)）。

代入$A^4$的表达式：
A⁴ = P*(5K)*P⁻¹ = 5*(PKP⁻¹)

这里你可能会疑惑$PKP⁻¹$是不是整数矩阵？其实不用纠结：因为$A$是整数矩阵，它的任意幂次（包括$A^{4$）必然是整数矩阵，而$A}4=5*(PKP⁻¹)$，这就意味着$PKP⁻¹$的每个元素都是整数——不然$5$乘以非整数不可能得到整数矩阵。所以$A^4$是5乘以一个整数矩阵，自然每个元素都能被5整除。

思路2：结合凯莱-哈密顿定理（更直接） #

从你找到的特征值，我们可以写出$A$的特征多项式：
f(λ) = λ²(λ-5)(λ-10) = λ⁴ - 15λ³ + 50λ²

根据凯莱-哈密顿定理，矩阵$A$满足它自己的特征多项式，也就是：
A⁴ - 15A³ + 50A² = 0

移项后得到$A^4$的表达式：
A⁴ = 15A³ - 50A²

现在看右边：15是5的倍数，所以$15A³$的每个元素都是5的倍数；50也是5的倍数，所以$50A²$的每个元素也是5的倍数。两个5的倍数的整数矩阵相减，结果的每个元素还是5的倍数——这就直接证明了$A^4$的每个元素都能被5整除！

这个方法甚至不需要用到$A$可对角化的性质，只需要你已经找到的特征值（用来写出特征多项式）就足够了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GSofer