证明$x^2+y^2 \to \infty$时$e^{e^{-xy}}$极限不存在的方法疑问

首先得指出你最开始选的路径（$x=t, y=0$）其实没法直接证明极限不存在——因为不管$t \to +\infty$还是$t \to -\infty$，$xy=0$，所以$e^{{-xy}=1$，最终函数的极限都是$e}1=e$，两条路径的极限一致，没法导出矛盾。不过你的核心思路（找两条不同路径让函数收敛到不同值）是完全正确的，只是需要换个合适的路径就行！

一、正确的路径选取示例 #

我们可以选两条满足$x^2+y2 \to \infty$但$xy$趋向不同值的路径：

• 路径1：令$x=t, y=t$，当$t \to \infty$时，$x^2+y2=2t^2 \to \infty$，此时$xy=t^2 \to \infty$，那么$e^{-xy} \to e^{-\infty}=0$，所以函数极限为$\lim\limits_{t \to \infty}e^{0}=1$。
• 路径2：令$x=t, y=0$，当$t \to \infty$时，$x^2+y2=t^2 \to \infty$，此时$xy=0$，$e^{-xy}=e0=1$，函数极限为$\lim\limits_{t \to \infty}e^1=e$。

因为$1 \neq e$，根据多元函数极限存在的充要条件（所有路径下极限都相同），可以直接得出原极限不存在的结论。

另外还可以选更直观的对比路径：

• 路径3：令$x=t, y=\frac{1}{t}$（$t>0$），当$t \to \infty$时，$x^2+y2=t^2+\frac{1}{t2} \to \infty$，$xy=1$，所以函数极限为$e^{e{-1}}$。
• 路径4：令$x=t, y=-\frac{1}{t}$（$t>0$），当$t \to \infty$时，$x^2+y2=t^2+\frac{1}{t2} \to \infty$，$xy=-1$，所以函数极限为$e^{e{1}}$。

显然$e^{e{-1}} \neq e^e$，同样能证明极限不存在。

二、关于极坐标方法的补充 #

你提到尝试过极坐标，其实这个思路也可行，但需要注意极坐标下$\theta$的取值不能固定，要考虑不同$\theta$对应的趋势：
设$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则$xy=r^{2\cos\theta\sin\theta=\frac{r}2}{2}\sin2\theta$，当$r \to \infty$时：

• 若取$\theta=\frac{\pi}{4}$，则$\sin2\theta=1$，$xy=\frac{r^2}{2} \to \infty$，$e^{-xy} \to 0$，函数极限为$e^0=1$。
• 若取$\theta=\frac{3\pi}{4}$，则$\sin2\theta=-1$，$xy=-\frac{r^2}{2} \to -\infty$，$e^{-xy}=e{\frac{r^2}{2}} \to \infty$，函数极限为$e^{\infty} \to \infty$。

两个极限完全不同，同样能推导原极限不存在。不过极坐标方法需要分情况讨论$\theta$的取值，相对路径法稍显繁琐，但逻辑是通顺的。

总结一下：你的核心思路（找不同路径导出矛盾）没问题，只是最开始选的路径没选对，换个能让$xy$趋向不同值的路径就可以啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者chrstnsn