几何收敛级数求解：已知前两项和与总和，求首项a及正公比r

我来一步步帮你拆解这个问题，其实核心就是利用等比级数的两个关键公式联立求解：

首先，先明确两个已知条件：

• 前两项之和为60：也就是首项$a$加上第二项$ar$，即 $a + ar = 60$，可以整理成 $a(1 + r) = 60$ ①
• 收敛级数的总和为108：对于收敛的等比级数（题目限定$r>0$，所以需要满足$0 < r < 1$才能收敛），总和公式是 $S = \frac{a}{1 - r}$，所以这里就是 $\frac{a}{1 - r} = 108$ ②

接下来联立这两个方程求解：

1. 从方程①中把$a$表示出来：$a = \frac{60}{1 + r}$
2. 把这个表达式代入方程②：

   \frac{60}{(1 + r)(1 - r)} = 108
   

   利用平方差公式化简分母：$(1 + r)(1 - r) = 1 - r^2$，式子变为：

   \frac{60}{1 - r^2} = 108
   

3. 交叉相乘并整理：
   $60 = 108(1 - r^2)$
   两边同时除以12简化计算：$5 = 9(1 - r^2)$
   展开后移项得到：$9r^2 = 9 - 5 = 4$
   解得$r^2 = \frac{4}{9}$，因为$r>0$，所以$r = \frac{2}{3}$（刚好满足收敛条件$0<r<1$）
4. 把$r=\frac{2}{3}$代入$a = \frac{60}{1 + r}$计算首项：
   $a = \frac{60}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{60}{\frac{5}{3}} = 60 \times \frac{3}{5} = 36$

最后验证一下结果是否正确：

• 前两项和：$36 + 36\times\frac{2}{3} = 36 + 24 = 60$，与题目条件一致
• 级数总和：$\frac{36}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{36}{\frac{1}{3}} = 108$，完全符合要求

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jess