求密度与XY平面距离成正比的上半球面的质量

咱们来一步步搞定这个问题：已知上半球面由$x^2+y2+z^2=a2$（$z\geq0$）定义，面密度和到XY平面的距离成正比，所以质量的核心积分就是$\int_{S}z\space dS$（比例系数可以最后再乘，先算这个基础积分）。

步骤1：球坐标参数化曲面 #

首先用球坐标来参数化这个上半球面，参数方程如下：

x=a·sin(\phi)cos(\theta),\ y=a·sin(\phi)sin(\theta),\ z=a·cos(\phi)

参数的取值范围是：$0<\phi<\frac{\pi}{2}$（因为是上半球，$\phi$从0到$\pi/2$），$0<\theta<2\pi$（绕Z轴一周）。

步骤2：计算曲面面积元素$dS$ #

要计算曲面积分，得先求参数化后的面积元素$dS$，也就是偏导数叉乘的模长：

• 先求对$\phi$和$\theta$的偏导向量：
  • $\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} = (a·cos(\phi)cos(\theta),\ a·cos(\phi)sin(\theta),\ -a·sin(\phi))$
  • $\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} = (-a·sin(\phi)sin(\theta),\ a·sin(\phi)cos(\theta),\ 0)$
• 计算两个偏导向量的叉乘：

\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
a·cos\phi cos\theta & a·cos\phi sin\theta & -a·sin\phi \\
-a·sin\phi sin\theta & a·sin\phi cos\theta & 0
\end{vmatrix} = (a^2·sin^2\phi cos\theta,\ a^2·sin^2\phi sin\theta,\ a^2·sin\phi cos\phi)

• 求叉乘结果的模长：

\left| \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \right| = a^2 sin\phi

所以$dS = a^2 sin\phi \ d\phi d\theta$。

步骤3：代入积分并计算 #

把$z=a·cos(\phi)$和$dS=a^2 sin\phi \ d\phi d\theta$代入积分，得到：

\int_{S} z\ dS = \int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} a·cos(\phi) · a^2 sin\phi \ d\phi d\theta

接下来拆分积分计算：

• 先整理被积函数：$a^3 cos\phi sin\phi$
• 分离变量后积分：

= a^3 \int_0^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/2} cos\phi sin\phi \ d\phi

计算内层积分（用换元法，令$u=sin\phi$，$du=cos\phi d\phi$）：

\int_{0}^{\pi/2} cos\phi sin\phi \ d\phi = \int_0^1 u du = \frac{1}{2}

外层积分很简单：

\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi

最后相乘得到结果：

a^3 · 2\pi · \frac{1}{2} = \pi a^3

如果面密度是$\rho = kz$（$k$为比例系数），那么曲面的质量就是$k\pi a^3$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Keeper