证明：若f是[a,b]上的Lipschitz函数，则Riemann-Stieltjes积分与ξ_i选择无关

咱们来一步步推导这个结论：如果函数$f:[a, b]\subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$是Lipschitz函数，那么它的Riemann-Stieltjes积分取值，和划分中每个子区间里$\xi_i$的选择完全没有关系。我的推导思路是这样的：

首先，既然$f$是Lipschitz函数，根据定义，存在一个常数$c>0$，使得对任意$x,y \in [a,b]$，都满足：
$$|f(x)-f(y)|\leq c|x-y|$$

接下来明确Riemann-Stieltjes和的定义：设$\Gamma={a=x_0,x_1,...,x_m}$是区间$[a,b]$的任意一个划分，$\xi_i$是第$i$个子区间$[x_{i-1},x_i]$内的任意一点，对应的Riemann-Stieltjes和为：
$$R_{\Gamma}(f,\phi)=\sum_{i=1}^{m} f(\xi_i)(\phi(x_i) - \phi(x_{i-1}))$$

现在假设在同一个划分$\Gamma$下，我们选择另一组点$\xi_i' \in [x_{i-1},x_i]$，得到另一个和$R_{\Gamma}'(f,\phi)$。我们只需要证明：当划分的模（所有子区间长度的最大值）$|\Gamma|$足够小时，这两个和的差可以任意小——这样就能说明所有这类和都会收敛到同一个极限，也就是积分值与$\xi_i$的选择无关。

计算两个和的差的绝对值：
$$|R_{\Gamma}(f,\phi) - R_{\Gamma}'(f,\phi)| = \left| \sum_{i=1}^{m} [f(\xi_i)-f(\xi_i')](\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})) \right|$$

利用三角不等式展开这个绝对值：
$$\leq \sum_{i=1}^{m} |f(\xi_i)-f(\xi_i')| \cdot |\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})|$$

因为$f$是Lipschitz函数，所以$|f(\xi_i)-f(\xi_i')|\leq c|\xi_i - \xi_i'|$；而$\xi_i$和$\xi_i'$都在同一个子区间$[x_{i-1},x_i]$里，因此$|\xi_i - \xi_i'|\leq x_i - x_{i-1} = \Delta x_i$。把这两个不等式代入上式，得到：
$$\leq c \sum_{i=1}^{m} \Delta x_i \cdot |\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})|$$

这里我们默认$\phi$是有界变差函数（这是Riemann-Stieltjes积分存在的常见前提），设它在$[a,b]$上的总变差为$V_a^b(\phi)$。注意到$\Delta x_i \leq |\Gamma|$，因此：
$$\sum_{i=1}^{m} \Delta x_i \cdot |\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})| \leq |\Gamma| \cdot \sum_{i=1}^{m} |\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})| \leq |\Gamma| \cdot V_a^b(\phi)$$

当$|\Gamma| \to 0$时，右边的$|\Gamma| \cdot V_a^b(\phi)$会趋近于0，这意味着$|R_{\Gamma}(f,\phi) - R_{\Gamma}'(f,\phi)| \to 0$。

换句话说，不管我们在每个子区间里选什么样的$\xi_i$，对应的Riemann-Stieltjes和最终都会收敛到同一个值——这就证明了Lipschitz函数的Riemann-Stieltjes积分取值与$\xi_i$的选择无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pre-Hilbert