给定边密度的n阶图中4-环数量的下界求解

我最近在研究一个图论问题，遇到了卡壳的地方，想请教下大家：

• 给定一个n阶图G，它的边数为$k\binom{n}{2}$，其中$k\in(0,1)$
• 现在需要求解这个图G中4-环数量的下界，已知的提示是尝试对$\sum_{u\neq v}|N(u)\cap N(v)|$进行界估计

我自己先做了一步计算，算出任意一对顶点的公共邻居期望数是$k^2\binom{n-2}{2}$，但拿不准这个结果能不能用来推导4-环的下界，希望能得到大家的思路指点~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bonnaduck