请举例构造函数f:ℝ→ℝ：在0点连续、在ℝ\{0}上间断

嗨，我来给你构造一个完全符合要求的函数——它是狄利克雷函数的变形，具体定义如下：

$$
f(x) =
\begin{cases}
x, & \text{当 } x \text{ 为有理数时} \
-x, & \text{当 } x \text{ 为无理数时}
\end{cases}
$$

接下来我们分两部分验证它满足你的要求：

1. 证明$f(x)$在$x=0$处连续 #

根据函数连续的$\epsilon-\delta$定义：对于任意$\epsilon > 0$，我们需要找到一个$\delta > 0$，使得当$|x - 0| < \delta$时，$|f(x) - f(0)| < \epsilon$。

首先，$f(0)=0$（因为0是有理数）。不管$x$是有理数还是无理数：

• 若$x$是有理数，$|f(x)-f(0)|=|x - 0|=|x|$；
• 若$x$是无理数，$|f(x)-f(0)|=|-x - 0|=|x|$。

所以我们直接取$\delta = \epsilon$，当$|x| < \delta$时，必然有$|f(x)-f(0)|=|x| < \epsilon$，完全符合连续的定义。

2. 证明$f(x)$在$\mathbb{R}\setminus{0}$上处处间断 #

任取一个非零点$a \in \mathbb{R}\setminus{0}$，我们要证明$f(x)$在$x=a$处不连续，也就是找到一个固定的$\epsilon_0 > 0$，使得无论$\delta$取多小，区间$(a-\delta, a+\delta)$内总能找到某个$x$，满足$|f(x)-f(a)| \geq \epsilon_0$。

分两种情况讨论：

• 当$a$是有理数时：
  此时$f(a)=a$，我们取$\epsilon_0 = \frac{|a|}{2}$（因为$a \neq 0$，所以$\epsilon_0 > 0$）。
  根据有理数和无理数的稠密性，任意开区间内都存在无理数。所以对于任意$\delta > 0$，区间$(a-\delta, a+\delta)$里一定有某个无理数$x$，此时$f(x)=-x$。
  当$\delta < \frac{|a|}{2}$时，$|x - a| < \delta$意味着$|x| > |a| - \delta > \frac{|a|}{2}$，那么：
  $$|f(x)-f(a)|=|-x - a|=|x + a| \geq \left| |a| - |x| \right| > \left| |a| - \frac{|a|}{2} \right| = \frac{|a|}{2} = \epsilon_0$$
  这就说明$f(x)$在有理数点$a$处不连续。

• 当$a$是无理数时：
  此时$f(a)=-a$，同样取$\epsilon_0 = \frac{|a|}{2}$。根据稠密性，任意开区间内都存在有理数，所以区间$(a-\delta, a+\delta)$里一定有某个有理数$x$，此时$f(x)=x$。
  同理，当$\delta < \frac{|a|}{2}$时：
  $$|f(x)-f(a)|=|x - (-a)|=|x + a| \geq \left| |a| - |x| \right| > \frac{|a|}{2} = \epsilon_0$$
  说明$f(x)$在无理数点$a$处也不连续。

综上，这个函数完全满足“在0点连续，$\mathbb{R}\setminus{0}$上处处间断”的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chung wow