已知曲线指定点的梯度，求参数a与b的取值

嗨，你已经把导数求对了，这步做得很棒！接下来咱们就通过联立两个方程来解出a和b，过程很清晰，一步步来：

第一步：利用曲线过已知点建立第一个方程 #

因为点$(2,-2)$在曲线$y=ax^2+\frac{b}{x}$上，所以把$x=2$、$y=-2$代入原方程：

-2 = a*(2)^2 + b/2

整理一下（两边同时乘以2消去分母），得到第一个方程：
8a + b = -4 ——记为方程(1)

第二步：利用梯度条件建立第二个方程 #

曲线在某点的梯度就是该点的导数值，已知$x=2$时梯度为$-5$，把$x=2$代入你求好的导数$y'=2ax-\frac{b}{x^2}$：

-5 = 2a*(2) - b/(2)^2

同样整理（两边同时乘以4消去分母），得到第二个方程：
16a - b = -20 ——记为方程(2)

第三步：联立方程求解a和b #

现在我们有了一个二元一次方程组：

• $8a + b = -4$
• $16a - b = -20$

把这两个方程相加，可以消去$b$：

(8a + b) + (16a - b) = -4 + (-20)
24a = -24
a = -1

得到$a=-1$后，把它代入方程(1)就能算出$b$：

8*(-1) + b = -4
-8 + b = -4
b = 4

验证结果（可选） #

咱们可以验证一下结果是否正确：

• 把$a=-1$、$b=4$代入原方程，$x=2$时，$y=-2^2 + 4/2 = -4 + 2 = -2$，符合已知点；
• 代入导数，$x=2$时，$y'=2*(-1)*2 - 4/(2^2) = -4 -1 = -5$，正好对应给定的梯度。完全正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SkinnyFatGuy