指数径向函数积分估计问询：积分是否满足多项式上界及β值求解

嘿，这个问题我来帮你拆解清楚～结论很明确：**这个积分并不满足你所说的多项式估计$I ≤ C R^{\beta$**，不管你选多大的常数β，当R足够大时，这个积分的增长速度都会超过任何多项式，核心原因在于指数函数$e}{\alpha|x|}$的增长速度比所有多项式都快。

下面给你具体推导验证一下：

首先，我们用N维球坐标变换来计算这个积分，这是处理球对称积分的标准操作：

• N维球坐标下，体积元可以写成$dx = r^{N-1} dr d\omega$，其中$r=|x|$，$d\omega$是单位球面$S^{N-1}$的面积元，它的积分结果是一个与R无关的常数$\omega_N = \frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}$（也就是单位球面的表面积）。

把积分转换成球坐标形式后，我们可以把变量分离：
$$
I = \int_{B(0,R)} e^{\alpha|x|} dx = \omega_N \int_0^R e^{\alpha r} r^{N-1} dr
$$

接下来分析这个关于r的积分$\int_0^R e^{\alpha r} r^{N-1} dr$的增长速度：
我们可以用分部积分法来展开这个积分，比如对$\int e^{\alpha r} r^k dr$（这里k=N-1是固定常数），反复分部积分后会得到：
$$
\int_0^R e^{\alpha r} r^k dr = \frac{e^{\alpha R}}{\alpha^{k+1}} \left( R^k - \frac{k}{\alpha} R^{k-1} + \dots + (-1)^k \frac{k!}{\alpha^k} \right) - \frac{(-1)^k k!}{\alpha^{k+1}}
$$
当R趋向于无穷大时，这个表达式里的主导项是$\frac{e^{\alpha R}}{\alpha^{N}} R^{{N-1}$——你看，这里有个指数项$e}{\alpha R}$，它的增长速度远远超过任何多项式$R^{\beta$（不管β取多大，只要α>0，当R足够大时，$e}{\alpha R}$都会比$R^\beta$大得多）。

所以，积分I的增长速度是指数级的，根本不可能被任何多项式$C R^\beta$控制住，自然也就不存在你所说的与R无关的常数C和β满足那个估计式啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathlover