关于联合凹函数固定部分变量后凹性的技术咨询

问题1：联合凹函数关于部分变量的凹性 #

• 答案：是，它关于变量$x_1,x_2,\cdots,x_T$也是凹函数
• 解释：先回忆联合凹函数的核心定义：对于函数$F(x_0,x_1,\dots,x_T)$，如果对任意两个向量$\mathbf{a}=(a_0,a_1,\dots,a_T)$、$\mathbf{b}=(b_0,b_1,\dots,b_T)$，以及任意$\lambda\in[0,1]$，都满足：
  $$F(\lambda\mathbf{a}+(1-\lambda)\mathbf{b}) \geq \lambda F(\mathbf{a}) + (1-\lambda)F(\mathbf{b})$$
  当我们只关注$x_1,\dots,x_T$时，不管$x_0$取什么固定值，对于$x_1,\dots,x_T$的任意两组取值$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_T)$和$\mathbf{y}=(y_1,\dots,y_T)$，把$x_0$的部分固定为同一个值代入上面的定义，就能得到：
  $$F(x_0,\lambda\mathbf{x}+(1-\lambda)\mathbf{y}) \geq \lambda F(x_0,\mathbf{x}) + (1-\lambda)F(x_0,\mathbf{y})$$
  这完全符合函数关于$x_1,\dots,x_T$凹的定义，所以结论成立。

问题2：固定$x_0=c$后的函数凹性 #

• 答案：$f_c(x)$作为$x_1,x_2,\cdots,x_T$的函数是凹函数
• 解释：
  1. 先看单个子项$f_i(c,x_i)$：因为$f_i(x_0,x_i)$是关于$(x_0,x_i)$的联合凹函数，根据问题1的结论，固定$x_0=c$后，$f_i(c,x_i)$必然是关于$x_i$的凹函数。
  2. 再看求和后的$f_c(x)$：凹函数有个关键性质——多个凹函数的和仍然是凹函数。对于任意$\lambda\in[0,1]$和$x_1,\dots,x_T$的两组取值$\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$，我们可以推导：
     $$
     \begin{align*}
     f_c(\lambda\mathbf{x}+(1-\lambda)\mathbf{y}) &= \sum_{i=1}^T f_i(c,\lambda x_i + (1-\lambda)y_i) \
     &\geq \sum_{i=1}^T \left[\lambda f_i(c,x_i) + (1-\lambda)f_i(c,y_i)\right] \
     &= \lambda \sum_{i=1}^T f_i(c,x_i) + (1-\lambda)\sum_{i=1}^T f_i(c,y_i) \
     &= \lambda f_c(\mathbf{x}) + (1-\lambda)f_c(\mathbf{y})
     \end{align*}
     $$
     这完全满足$f_c(x)$作为$x_1,\dots,x_T$函数的凹性定义，所以结论成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Frank Moses