GATE 2018概率题：掷7次4绿2红六面无偏骰子的结果判断

嘿，我来帮你搞清楚这个骰子概率问题～

问题回顾 #

将一枚带有4个绿色面、2个红色面的六面无偏骰子掷7次，以下哪种组合是该实验最可能出现的结果？
(A)3个绿色面和4个红色面 (B)4个绿色面和3个红色面 (C)5个绿色面和2个红色面 (D)6个绿色面和1个红色面

思路拆解与计算 #

首先，先明确单次掷骰子的概率：

• 绿色面出现的概率：p = 4/6 = 2/3
• 红色面出现的概率：q = 2/6 = 1/3

这个实验属于二项分布场景——7次独立重复试验，每次只有“掷出绿色”或“掷出红色”两种结果，且各自概率固定。对于二项分布B(n,p)，最可能出现的成功次数（这里我们把“掷出绿色”定义为成功）的众数有明确的计算规则：

1. 计算 (n+1)*p 的值
2. 如果这个值不是整数，众数就是它的向下取整结果；如果是整数，那么这个值和它减1都是众数

代入题目中的数值：n=7，p=2/3，计算得：
(7+1)*(2/3) = 16/3 ≈ 5.333
这个结果不是整数，向下取整后得到5，也就意味着最可能出现5次绿色面，对应2次红色面，也就是选项C。

额外验证：对比各选项概率 #

为了更直观，我们可以对比选项B和C的概率比值：

• 选项C的概率：C(7,5)*(2/3)^5*(1/3)^2
• 选项B的概率：C(7,4)*(2/3)^4*(1/3)^3

两者的比值为：

[C(7,5)*(2/3)^5*(1/3)^2] / [C(7,4)*(2/3)^4*(1/3)^3] = (21 * 2/3) / (35 * 1/3) = 14 / (35/3) = 42/35 = 1.2 > 1

这说明选项C的概率比B更高。再对比C和D的概率比值，结果同样大于1，进一步确认C是概率最高的组合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hululu