请求证明三角恒等式：(cos a - sin a + 1)/(cos a + sin a - 1) = sin a/(1 - cos a)

没问题，我来一步步帮你推导这个恒等式。首先要注意，这个等式成立的前提是两边的分母都不为0：也就是 $\cos a + \sin a - 1 \neq 0$ 且 $1 - \cos a \neq 0$，在这个前提下我们可以用交叉相乘的方法来证明——这是分式恒等式证明的常用技巧，只要证明左边分子乘右边分母等于左边分母乘右边分子即可。

我们需要验证的等式是：
$$(\cos a - \sin a + 1)(1 - \cos a) = (\cos a + \sin a - 1)\sin a$$

先展开左边的表达式： #

$$
\begin{align*}
\text{左边} &= (\cos a - \sin a + 1)(1 - \cos a) \
&= \cos a(1 - \cos a) - \sin a(1 - \cos a) + 1(1 - \cos a) \
&= \cos a - \cos^2a - \sin a + \sin a\cos a + 1 - \cos a
\end{align*}
$$

先合并同类项：$\cos a$ 和 $-\cos a$ 相互抵消，剩下：
$$
\text{左边} = -\cos^2a - \sin a + \sin a\cos a + 1
$$

这里我们用最基础的三角恒等式 $\sin^2a + \cos^2a = 1$，把 $1 - \cos^2a$ 替换成 $\sin^2a$：
$$
\text{左边} = \sin^2a - \sin a + \sin a\cos a
$$

提取公因子 $\sin a$：
$$
\text{左边} = \sin a(\sin a - 1 + \cos a) = \sin a(\cos a + \sin a - 1)
$$

再看右边的表达式： #

直接展开右边：
$$
\text{右边} = (\cos a + \sin a - 1)\sin a
$$

显然左边和右边完全相等，所以交叉后的等式成立，原恒等式也就得证了。

如果你喜欢另一种化简思路，也可以对左边的分子分母同时乘以 $(1 - \cos a)$，再结合 $\sin^2a = 1 - \cos^2a$ 来化简，最终也能得到右边的结果，感兴趣的话可以自己试试~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user140202